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57760.Re: rankの問題  
名前:rank    日付:2018年08月10日(金) 13時15分
通りすがりさん、ありがとうございます。
疑問も解決できました!
ありがとうございました!
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57748.Re: rankの問題  
名前:通りすがり    日付:2018年08月09日(木) 05時01分
(2) の更なる補足です.

 A^2 = A ならば rank A + rank(E - A) = n

については,ジョルダン分解を利用し,次の様にして示すこともできます.

A^2 = A なので,任意の A の固有値 λ は λ^2 = λ を満たす.従って,λは 0 または 1 である.また,

 (E-A)^2 = E - 2A + A^2 = E - A

である.λの広義固有空間 W_λ はある正の整数 m を用いて

 W_λ = Ker((λE-A)^m)

と表される.よって,λ = 0 のとき,

 W_λ = Ker((-A)^m) = Ker((-1)^m A) = Ker A

であり,λ = 1 のとき,

 W_λ = Ker((E-A)^m) = Ker(E - A)

である.従って

 C^n = Ker A ++ Ker(E - A)

と直和分解される(0 が A の固有値で無ければ Ker A = 0 であり,1 が A の固有値で無ければ Ker(E - A) = 0 であることに注意).但し,++ は直和を表す.故に,次元定理より

 rank A + rank(E - A) = (n - dim(Ker A)) + (n - dim(Ker(E - A))) = 2n - n = n

である.
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57747.Re: rankの問題  
名前:通りすがり    日付:2018年08月09日(木) 04時35分
(2) について補足致します.実質的に

 (c) dim(Im f) + dim(Im g) = n (= dim V),
 (a) Im f ∩ Im g = 0,
 (b) fg = gf = 0

同値であることを示すことになると思います.(c) は

 rank A + rank(E -A) = n

に,(b) は A^2 = A(即ち,A(E- A) = O に対応しています.私のヒントの (b) ならば (a) についても,(b) ならば (c)(よって (a)) という手順で証明を行っています.
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57744.Re: rankの問題  
名前:rank    日付:2018年08月09日(木) 00時10分
お二方、大変参考になりました。
(2)に関しては若干苦戦中ですが、何とかなるよう頑張っています。
ありがとうございました。
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57725.Re: rankの問題  
名前:通りすがり    日付:2018年08月07日(火) 02時18分
(2) V を n 次元ベクトル空間,f, g を V から V への線形写像で fg = gf(合成の記号を省略しています)かつ f + g = id(id は恒等写像)を満たしているとします(問題の行列 A を表現行列にもつ線形写像を f,E - A を表現行列にもつ線形写像を g とおけば,この条件が満たされています).このとき,

 (a) Im f ∩ Im g = 0,
 (b) fg = gf = 0

が同値となることを示せれば終わりです.

(a) ならば (b) については,Im(fg) = Im(gf) = 0 であることを示せればよいことに着目すると良いと思います.

(b) ならば (a) については,dim(Im f) + dim(Im g) = dim V であることを示せばよいことに着目します.gf = 0 なので,Im f ⊆ Ker g であることとや,次元定理,IT さんに示して頂いた

 dim(Im f) + dim(Im g) ≧ dim(Im(f+g)) = n

を用いれば良いと思います.
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57718.Re: rankの問題  
名前:IT    日付:2018年08月06日(月) 23時38分
(1)
rankA+rankB≧rank(A+B)…@において B=E-A とおくと
rankA+rank(E-A)≧rankE=n

@の証明
A,B,A+B が表す線形写像の像空間の次元を考える.

あるいは
A,Bの列ベクトルの極大線形独立系をそれぞれa[1],a[2],...,a[r];b[1],b[2],...,b[s]とすれば、
A+Bの任意の列ベクトルはa[1],a[2],...,a[r],b[1],b[2],...,b[s]の線形結合である。
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57712.rankの問題  
名前:rank    日付:2018年08月06日(月) 18時23分
東京工業大学の大学院の過去問です。
nを正整数とし、Aをn次複素正方行列とする。
⑴ rankA + rank(E-A)≧ n を示せ。
ただし、Eはn次単位行列とする。
⑵ ⑴の不等式で、等号が成立する必要十分条件は、A^2 = Aであることを示せ。

何をどう考えればいいのか、よく分からないです…
どなたか教えてください。
お願いします。
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