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57705.Re: ハドヴィガー=ネルソン問題のさらなる範囲制限について  
名前:K    日付:2018年08月05日(日) 21時20分
らすかる様
> 正三角形の高さは√3/2<1ですから、これは成り立ちませんね。
本当ですね。見落としていました。
ご指摘いただきありがとうございます。
この問題を解決できるかもう少し考えてみたいと思います。

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57699.Re: ハドヴィガー=ネルソン問題のさらなる範囲制限について  
名前:らすかる    日付:2018年08月05日(日) 18時46分
そうなると、「任意のグラフがそのように置ける」ことの証明が必要ですね。
例えば図の中心の赤い三角の中で一番上のあたりに線分の端があり
真上方向に線分が伸びている場合、線分の他端も赤になってしまいます。
下で書いたサイトの「頂点が826個あるグラフ」が
こうならないように置ける気がしません。

> ある線分の一つの端がある正三角形内のどこに位置したとしても、
> 反対側の端は必ずその正三角形を囲む12個の正三角形のいずれかに
> 位置することになるので
> 両端が同じ色になってしまうことはありません。

正三角形の高さは√3/2<1ですから、これは成り立ちませんね。

# 例えば、点Aを端点とする線分が点Aの周りに放射状に等間隔で
# 360本(Aでない方の端点を点B[1]〜B[360]とする)あり、
# 各B[1]〜B[360]からそれぞれ同様に360本ずつ線分が出ていて、
# さらにその端それぞれから360本ずつ線分が出ているグラフ
# (線分は全部で360+360^2+360^3本)では、
# 全て両端の色が異なるようには置けないのでは?
# (そこまで多くしなくても例外は作れそうな気がしますが)

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57698.Re: ハドヴィガー=ネルソン問題のさらなる範囲制限について  
名前:K    日付:2018年08月05日(日) 17時59分
らすかる様
小さい3つの絵は私の方法で完全に塗り分けられます。
私の説明に絵が無いために非常に分かりづらく、誤解を招いてしまっている気がします。
試しに一番右の物を塗り分けて、アップローダに画像を上げました。
https://i.imgur.com/s7ydnuh.jpg

絵を元に再度説明いたします。
正三角形は線分そのものではありませんし、この正三角形の辺を使って線分を表すわけでもありません。
線分の長さを仮に1としておきます。
一辺の長さ1の正三角形で平面を敷き詰めます。
ある正三角形から見て周りを囲む12個の正三角形に同じ色が無いようにします。
これは簡単で、図のように機械的に色を繰り返すだけです(計6色)。
その平面内に線分の集合体を適当に置きます。
ある線分の一つの端がある正三角形内のどこに位置したとしても、
反対側の端は必ずその正三角形を囲む12個の正三角形のいずれかに位置することになるので
両端が同じ色になってしまうことはありません。
と考えています。

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57695.Re: ハドヴィガー=ネルソン問題のさらなる範囲制限について  
名前:らすかる    日付:2018年08月05日(日) 12時02分
例えば↓このページにある
https://wired.jp/2018/08/02/a-decades-old-math-problem/
「頂点が826個あるグラフ」は、(細かくてよくわかりませんが)
一つの点から8本以上の線が出ている箇所もありますので
「平面に正三角形を敷き詰めた形」では表現できないような気がします。
また、そこまで多くなくても、下の方にある小さい三つの図の右の図だけでも
表現できないのでは?

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57694.Re: ハドヴィガー=ネルソン問題のさらなる範囲制限について  
名前:K    日付:2018年08月05日(日) 11時28分
らすかる様
ご返信ありがとうございます。
一般の場合と言いますと、これだとまだ例外があるということでしょうか。
線分の数が有限である限り、どのように線分を置いても線分の両端は必ず色の異なるタイル上に位置することになるので
色が同じになる可能性は完全に排除できるかと思いました。

なお、線分の端が三角形の辺上になるとややこしいですが、線分の数が有限である限り、
そうならないように配置させることが可能と考えています。

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57688.Re: ハドヴィガー=ネルソン問題のさらなる範囲制限について  
名前:らすかる    日付:2018年08月05日(日) 01時46分
「平面に正三角形を敷き詰めた形」で7色が排除できても、
一般の場合は排除できないのでは?

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57687.ハドヴィガー=ネルソン問題のさらなる範囲制限について  
名前:K    日付:2018年08月04日(土) 23時42分
数学は素人なので初歩的なミスや誤解がありましたらご容赦ください。
同じ長さの線分を自由に連結して連結点を色を塗りながら、
その両端の色が同じにならないようにするには何色必要かと解釈しました。
そしてその範囲が現在5,6,7色のいずれかまで絞られているということかと思います。
その理解が正しいとしての話ですが、
平面を正三角形のタイルで埋めて、各タイルに色を塗ります。
ひとつのタイルから見て、周りの12個のタイルにその中心と同じ色のタイルがないようにします。
これは6色で実現可能です。
このタイル平面上に、上記の様な線分を配置して連結点をタイルと同じ色で塗った場合、
線分の両端が同じ色になることはありえません。
というわけで、7色の可能性を排除できると思うのですが、いかがでしょうか。
こんなに簡単に減らせるなら、遥か昔に達成されているはずなので、何か間違いがあるような気はするのですが。

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