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DS 数学 BBS・2
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57632.Re: 位相数学  
名前:Grapple    日付:2018年08月02日(木) 22時21分
遅くなりまして、特に2番の取り方は参考になりました。
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57626.Re: 位相数学  
名前:naka    日付:2018年08月02日(木) 18時12分
1. V についても同様にできるので W についてのみ書きます。x∈W を任意に取った時 ε=(f(x)-t)/2>0 とします。f は連続関数なので δ>0 で
d(x,y)<δ⇒|f(x)-f(y)|<ε
をみたすものが存在する。このとき x のδ近傍をから取った y は
f(y)>f(x)-ε=(f(x)+t)/2>t
を満たすので y∈W である。よって W は開集合。

2.x∈ℝ,ε>0 が与えられた時 δ>0 を
δ=min{ε/(2|x|+1),1}
により定める。すると |x-y|<δ ならば
|x^2-y^2|=|x-y||x+y|<δ(|x|+|y|)<δ(2|x|+1)≦ε
となるので写像 f(x)=x^2 は連続である。

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57617.位相数学  
名前:仲下    日付:2018年08月01日(水) 20時33分
1.距離空間(X,d)とし、f:X→ℝを連続関数(実数値関数)として、t∈ℝを1つ取って固定する。このとき集合W={x∈X | f(x)>t}, V={x∈X | f(x)<t}は共にXの開集合であることを示せ。
2.f(x)=x^2はℝからℝへの連続写像であることをε-δ論法で示せ。

以上2問お願いします。
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