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57819.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月15日(水) 05時39分
すみません. 解決いたしました.


代数幾何学における「超曲面」には定義揺れがあるようで,
一つの多項式fで定義されるZ(f)を超曲面と呼ぶが,
多項式fの既約性を仮定するか否かは本によって異なるようです.


ハーツホーンでは, fを既約としていますが
当該の証明においてfの既約性を用いていないので
fが既約でなくとも補題4.2は成り立つのですね.
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57806.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月12日(日) 18時46分
質問続きで大変申し訳ありません.




[代数幾何学]ハーツホーン の1章 4節 補題4.2 において

多項式fが既約であることを用いていないように見えますが,

fが既約でなくとも この補題は成り立つということでしょうか?


(超曲面と言い切っているのでfは既約だと思いますが…)
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57805.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月12日(日) 18時42分

とりあえず, 素イデアルの場合について理解しましたので,

準素イデアルの場合は, 時間がある時にじっくり考えようと思います.


そこまで, 準素の場合は重要でないと考えておりますゆえ...
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57804.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年08月12日(日) 16時31分
異なる環境から入力しております.

> 二重帰納法の別の言い換えとして
> [1] 全てのsに関する (0,s)の場合に正しい.
> [2] r≧1で (r-1,s)まで成り立つと仮定して, (r,s)の場合も成り立つ.
> が示せれば, 任意の(r,s)に関してOK みたいなので
> 当該ページでは,そちらを使っているのかな と自分なりに思いました.

この言い換えの [1] と 57801 で私が述べた帰納法の [2] を mix して使っているのだと思います.

> http://arxiv.hatenablog.com/entry/2016/06/16/190000
> 上から二番目の命題の部分の方が分かりやすいので

そもそも主張が異なると思います.この命題では素イデアルの場合のみ示していますので,これは準素イデアルの場合に適用できません(証明も work しない).

今回の場合は,準素イデアルの場合の証明をしているので,面倒な議論が必要となっています.
58-190-219-206f1.wky1.eonet.ne.jp (58.190.219.206)
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57803.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月12日(日) 10時55分
探してみたところ, このサイトにある

http://arxiv.hatenablog.com/entry/2016/06/16/190000

上から二番目の命題の部分の方が分かりやすいので

こちらで考えてみます.
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57802.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月12日(日) 07時42分

二重帰納法の別の言い換えとして

[1] 全てのsに関する (0,s)の場合に正しい.
[2] r≧1で (r-1,s)まで成り立つと仮定して, (r,s)の場合も成り立つ.

が示せれば, 任意の(r,s)に関してOK みたいなので
当該ページでは,そちらを使っているのかな と自分なりに思いました.



通りすがり 様 の方法で考えてみます.
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57801.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年08月12日(日) 04時30分
そもそも,添付ファイルの本の著者は整礎集合上の帰納法をご存じないようにみえます(或いは,読者への配慮?).この帰納法を用いれば,

 [1] (r,s) = (0,0) の場合に正しい
 [2] (r,s) ∈ (N_0 × N_0) - {(0,0)} (N_0 は非負整数全体)に対し,
「(r',s') < (r,s) を満たす(< は成分ごとの比較による順序)任意の (r',s') に対し,証明したい主張が成立するならば,(r,s) についても成立する」

が示せれば([1] は自明),任意の (r,s) ∈ N_0 × N_0で OK となることが分かります.

数学的帰納法では直線状に配置したドミノの話を用いて「直感的な説明」がなされますが,上記の主張も正方形上にならべられたドミノを思い浮かべて頂ければ,直感的な説明として納得できるのではないかと存じます.
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57799.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年08月12日(日) 04時16分
因みに,本来ならば,s = 0 で r が任意の場合も示す必要がありますが,r = 0 の場合とほぼ同じなので,言及するのをサボっているのだと思います.

> r≧1のときr未満はすべて成り立つと仮定して,

違います.二重帰納法の主張(定義)を再度確認して下さい.添付ファイルの証明中に「r と s による二重帰納法」と書いているのですから,示さねばならないのは,

 (r',s') < (r,s) を満たす任意の (r',s') に対し主張が成立するならば,(r,s) に対しても成立する

です.但し,< は成分ごとの比較による半順序を表します.

> rの場合の成立を示そうとしていることまでは理解できました.

という訳でここも違います.
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57791.Re: 難・代数幾何学  
名前:代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月12日(日) 00時01分
すみません, 考え中です.


通りすがり様にとっては簡単かもしれませんが,
私にとっては少し難しいです.


とりあえず, この帰納法において まず r=0を示し,
r≧1のときr未満はすべて成り立つと仮定して,
rの場合の成立を示そうとしていることまでは理解できました.

なお, 二重帰納法なので sについては任意の非負整数としたままですね.


https://i.imgur.com/bNHzJWb.jpg
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57762.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年08月10日(金) 15時00分
d' := d + e + 1とおくと,

 f' = f_{d'} + f'_{d'+1} + ... + f'_{d'+r-1}

となっているので,帰納法が適用できるといっているのだと思います.
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57755.Re: 難・代数幾何学  
名前:代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月10日(金) 05時43分
写真の定理5において, 二重帰納法(定義は確認済み) を用いて証明をしているのですが,何を仮定しているのかよく分かりません.

最後の部分で「帰納法の仮定により,この場合もよい」
としていることに納得できません.

ご助言いただきたいです.


https://i.imgur.com/bNHzJWb.jpg

(画像中の Kは体, RはK[X_0,…,X_n] のことです)
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57730.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月07日(火) 18時39分

アティマクの解答は確かにいろいろとありますね.
教えていただきありがとうございます.


ハーツホーンに関しては略解のようなものばかりですね.
やはり問題自体が全体的に難しいということでしょうか.


問題を解く癖をつけようと思います.
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57713.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年08月06日(月) 19時13分
状況につきまして,承知致しました.

> 演習問題は各セクションにつき2〜3割くらいしか解けていません.
難しいうえに, 模範解答を尋ねる相手も周りにおりませんゆえ...

ハーツホーンやアティア=マクドナルドの解答については,自作の解答を up されている方が結構いらっしゃいます.但し,ほとんどが海外の方のものなので,英文ではありますが…

「hartshorne answer」などで検索すると結構ヒットしますので,参考にされては如何でしょうか?但し,これらの解答が正しいとは限りませんので,注意が必要です.
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57711.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月06日(月) 06時18分

かなり以前に 上野健爾さんの特別講義を履修して分かりやすかったため,
「代数幾何入門」は買ったのですが, 解析的な方面に展開しているので
適さないと思い, ほこりを被っております...


私の目標といたしましては, ハーツホーンの1章(全部で80p.未満)を読み切ることです.
2章以降の難しいスキーム論やコホモロジーなどには立ち入らないつもりです.


まずは1章の「ブローアップ」や「アフィン多様体の正規化」などを学ぶための準備段階というところです.


なお, ハーツホーンにせよ アティマクにせよ
演習問題は各セクションにつき2〜3割くらいしか解けていません.
難しいうえに, 模範解答を尋ねる相手も周りにおりませんゆえ...
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57710.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年08月06日(月) 05時51分
> ハーツホーンの本で勉強せざるを得ない状況

代数幾何学の本は,「上野健爾」など色々と他にもあると思いますので,(可能ならば)こういった本も参考にされるのが良いかと存じます.

> 色々とご助力願えると幸甚に存じます.

承知しました.ただ,私は代数幾何を専門に勉強したことはなく,ハーツホーンの初め辺りを斜め読みした程度の知識しか持ち合わせておりませんので,もうあまりお力になれないかもしれません….

今後のご参考として,ハーツホーンはアティア=マクドナルドと同様,問題が豊富にあり,更に,重要な事項がこの問題に記載されていることも多々ありますので,出来る限り問題は解いた方がよいと思います.
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57709.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月06日(月) 02時26分
全くもって, 仰る通りだと思います❗️


定義を深く理解できていないというのは
数学を学ぶ上で致命的だと改めて感じました. (勿論,理解力や地頭の問題でもあるかもしれませんが・・・)


また,通りすがり 様 のお察しの通り,学力不足にも関わらず,私はハーツホーンの本で勉強せざるを得ない状況におりますので,割と基本的な事ですらも 私にとって自明でない事が多いです.


ですので,他力本願に思えるかもしれませんが,色々とご助力願えると幸甚に存じます.


※決して, 自分で考える気がないわけでは御座いません.
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57708.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年08月06日(月) 01時23分
> g,fは座標環A(Y)の元として扱っているのかと

I(Y) の元は Y 上の関数としては 0 と一致しますので,そう考えても実は問題は生じません.
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57707.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月05日(日) 22時29分
ひとえに私の勉強不足です・・・


アフィンの場合は多項式g,fをアフィン多様体Y上の関数とみなす,
と和書には書いてありますので g,fは座標環A(Y)の元として扱っているのかと思いました.
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57706.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年08月05日(日) 22時18分
…定義を再確認されては如何でしょう?

アフィンの場合も,「局所的に単なる多項式からなる有理関数となる場合に正則とよぶ」と定めていると思いますが…

射影空間の場合は,ご指摘の通り,きちんと関数となる為に,「斉次多項式からなる有理関数」として定めています.ちなみに,「きちんと関数となる為に」という注意もハーツホーンに記載されています.

定義をきちんと確認して下さい.
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57704.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月05日(日) 21時17分

いや, それなら射影空間の場合も

斉次座標環S(Y)の同じ次数の斉次元g,f を用いて r=g/f とすれば

良いような気がしますが, アフィンと異なり
なぜ ただの多項式g,fで正則が定義されているのでしょうか?
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57703.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月05日(日) 21時13分
すみません.
もしかして私はアフィンにおける正則と勘違いしていますか.


アフィンの場合は座標環の元を用いてr=g/f と書けること.


あーっ,,, 射影空間の場合はそもそも斉次座標環S(Y)の元が射影多様体Y上の関数にはなっていないということですよね!?
だから, 単にg,hは多項式としている.


しかし, 分母・分子に同じ次数の斉次元を持ってきた場合にのみ
射影空間上の関数とみなせます.
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57702.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年08月05日(日) 20時48分
> <V,r> ∊ K(Y_0) についてrはV上において あるg,f∊A(Y_0)(Y_0の座標環)が存在して r=g/f (ただし, fはゼロ関数ではない) と書ける

なぜそのようなことを考えるのですか?57683の正則関数の定義における h, g は k[x_0,x_1,...,x_n] に属していれば良いだけだと思います(英語版では少なくとも,その様に定義されています).
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57701.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月05日(日) 20時47分
回答していただき感謝しております.


申し訳ありません. 定義を少し勘違いしておりました....


私がよく分からないのは, <V,r> ∊ K(Y_0) について
rはV上において あるg,f∊A(Y_0)(Y_0の座標環)が存在して r=g/f (ただし, fはゼロ関数ではない) と書ける
ということですが, このrが同じく V上でA(Y)の元による分数でも表せることを回答57693. で示そうとしております.


つまり, 疑問といたしましては f∊A(Y_0)をX_0 について斉次化したf'は
A(Y)の元なのかどうかいまいち確信が持てないのです.


現在, 環準同型 φ:A(Y_0)→A(Y); f+I(Y_0) ↦ 斉次化f'+斉次イデアルI(Y)
でも考えて, これが単射っぽいかな
という考察をしています.
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57696.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年08月05日(日) 14時12分
Y_0=Y∩U_0 は Y の開集合で,Y_0 には Y の相対位相が入っているのですから,Y_0 の開集合は Y の開集合です.従って,<V,r> ∊ K(Y_0) ならば,<V, r> ∊ K(Y) です.

------------------------------
勿論,正確を期すならば,次の様になります.

Y_0 の開集合は Y の開集合なので,

 A := {<V,r> | V は Y_0 の開集合,r は V 上の正則関数}



 B := {<V,r> | V は Y の開集合,r は V 上の正則関数}

の部分集合であり,包含写像は自然に A の商集合 K(Y_0) から B の商集合 K(Y) への単射を導く.また,簡単な考察から,この写像は環準同型であることが直ぐに分かる.57683 で示したことから,全射となる(或いは,57683 から得られる K(Y) から K(Y_0) への写像が逆写像となることが分かる).
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57693.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月05日(日) 07時27分
<V,r>∊K(Y_0) が V上で r=f/g と表されているとし, max(deg(f),deg(g))=dとする.

このとき, r= f/g = (X_0^d・f)/(X_0^d・g)= f'(X_0,…,X_n)/g'(X_0,…,X_n)
と変形でき, gがV上で0にならないならば g'もV上では0にならない.
よって, g'が0にならないY上の点たちからなる開集合をD(g')とおくと,
V⊂D(g')⊂Y. つまり,<V,r>=<D(g'),r>∊K(Y) となり, K(Y)⊃ K(Y_0) も言えた.

したがって, K(Y)= K(Y_0) である.



これでどうでしょうか.
(用語の定義等は確認しました. そもそも,この主張はそんなに自明なのでしょうか・・・)


追記:
小行列式は高々単元倍になるだけで〜 の部分が偽であることには正直気が付きませんでした. 確かに, 生成するイデアルは不変になりそうだな と 勝手に納得していました.
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57692.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年08月05日(日) 04時43分
ついでなので,57593 の投稿の修正をさせて下さい.

> この S 上の行列に基本変形(但し,列 or 行のスカラー倍については,単元倍のみ許す)を施しても,小行列式は高々単元倍になるだけで,生成するイデアルは不変です.

と述べましたが,「小行列式は高々単元倍になるだけで」というのは偽で,列に関する変形を加味すれば,もう少し複雑になります.いずれにせよ,生成するイデアルは不変なので,基本変形を施しても問題は生じません.
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57691.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年08月05日(日) 04時34分
Y_i は Y のどのような集合で,どの様な位相を入れていますか?後は正則関数や K(Y_i), K(Y) の定義を確認すれば,すぐに分かります.
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57683.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月04日(土) 21時36分
[代数幾何学]ハーツホーン ,第1章3節 定理3.4 (c) の証明の冒頭について質問がございます.


--------------------------------------------------------------------------------------------
射影空間P^nの座標環を k[X_0,…,X_n] (k:代数閉体),
射影多様体Y⊂P^n , Yの開アフィン部分 Y_0=Y∩U_0 (ただし, U_0=P^n-Z(X_0)) とします.

このとき, Y の有理関数体 K(Y) と Y_0 の有理関数体 K(Y_0) が等しいことが示せません.
---------------------------------------------------------------------------------------------


【私が言えたこと】 K(Y)⊂ K(Y_0)

(証) K(Y)∍<U,f> について, U∩Y_0 は空ではないのでY_0における空でない開集合.
<U∩Y_0, f>∊Y_0. ここで, U∩Y_0 上で f=f より <U,f>=<U∩Y_0, f>∊Y_0. したがって, K(Y)⊂ K(Y_0) .





しかし, 逆の包含関係が言えそうでなかなか言えません・・・


ご助力, お願いできないでしょうか?







〜〜〜〜〜用語の定義(ハーツホーン第一章より)〜〜〜〜〜

Yの有理関数体K(Y)とは, Yのある空でない開集合U上で正則な関数fの同値類 <U,f> の集まりのなす体. 同値関係 〜 は 「<U,f>〜<V,g> ⇔ U∩V上でf=g 」で定めています.

なお, U上正則な関数f とはUの任意の点aにおいてf(a)=h(a)/g(a) (ただし,g(a)≠0) と表せるような次数の共に等しい斉次多項式h,gが存在することです.
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57616.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年08月01日(水) 15時44分
またしてもお返事が遅くなり申し訳ありません.


なんとか理解できました.


本当にありがとうございました.
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57593.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年07月31日(火) 08時17分
p_0 ≠ 0 のときに,(p_0X_1-p_1X_0,…,p_0X_n-p_nX_0) = ( p_iX_j - p_jX_i | i,j = 0,…,n ) が成立するか否かについてですが,今後のことを考えても,これは自力できちんと確認された方がよいかと存じます.

まずは,可換環 R の部分集合 A, B で生成されるイデアル I, J について,

 ・I = J であること
 ・A が J に含まれ,B が I に含まれること

が同値であることを確認して下さい.この主張を認めれば,簡単な練習問題です.きちんと解くと,p_0 ≠ 0 という条件がきちんと効いていることが分かると思います(下記に行列の基本変形を利用した証明も記載しておりますので,合わせてご覧頂ければと存じます).

後半のご質問についても,上記の問題をきちんと解けば自ずとお分かりになるかと存じます(p_0 ≠ 0 の条件無しでは,ご提示の元達だけで I({p}) を生成できるとは限らない).

因みに,I({p}) は 2 × (n+1) 行列

 p_0 p_1 p_2 ... p_n
 x_0 x_1 x_2 ... x_n

(全体を括弧で覆うのは無理なので,括弧は省略します)の最大小行列式で生成されるイデアルとなっています.この S 上の行列に基本変形(但し,列 or 行のスカラー倍については,単元倍のみ許す)を施しても,小行列式は高々単元倍になるだけで,生成するイデアルは不変です.

p_0 ≠ 0 ならば,上記の行列に基本変形を施せば,

 1 0     ... 0
 0 p_0X_1-p_1X_0 ... p_0X_n-p_nX_0

と変形できると思います.
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57590.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年07月31日(火) 03時03分
射影多様体Yの点p=[p_0:…:p_n]∊Y∩U_0 に対して,
斉次イデアル I({p})=(p_0X_1-p_1X_0,…,p_0X_n-p_nX_0)⊂k[X_0,…,X_n]
で合っていますでしょうか.


物の本によると, 射影空間の点p=[p_0:…:p_n]∊P^n で消える斉次イデアルは
I({p})=( p_iX_j - p_jX_i | i,j = 0,…,n ) と書かれていましたが,
これは 一般の場合だと 点pのどの座標が0ではないのか分からないため, このようなイデアルの表し方になっているのでしょうか.


つまり, 点pの0ではない座標(仮にp_0≠0とする) が分かれば, 最初に書いたように
I({p})=(p_0X_1-p_1X_0,…,p_0X_n-p_nX_0)
と比較的シンプルに表せると思うのですが, よろしければご意見をお聞かせ願えますでしょうか.



※質問を解決していただいた後に, 別の質問を改めてするのはマナー違反だとは思いますが, 再度 別の質問スレッドを立てるのも煩雑ですのでご容赦ください・・・
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57584.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年07月30日(月) 22時11分
申し訳ありません. ご指摘の通り, [S_{X_i}]_0 の単元も
k-{0} でした. 愚かなミスです.


f'はf'(a)=a という写し方から明らかに単射で,
g'は任意の元 a = (F+I(Y))/X_i^d (Fはd次斉次) ∊ V_0 に対して, g'(F/X_i^d)=a より全射.



通りすがり 様, あ 様 および ホモロジー代数の書籍によって
ようやく理解できました. 誠にありがとうございます.
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57575.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年07月30日(月) 08時24分
> [S_{X_i}]_0 の単元は1(=1/1) のみである 

は偽です.k-{0} の元は S_{X_i} に全て含まれます.

先の私の発言は誤解を招く表現だったので,正確に述べます.環準同型 S -> [S_{X_i}]_0 自身は存在しますが(例えば,S -> k と k -> [S_{X_i}]_0 の合成),

 [I・S_{X_i}]_0 = I・[S_{X_i}]_0

を保証できるもので,かつ,自明なものが存在しないという意味です.仮に非自明なものが存在したとしても,その際は I・[S_{X_i}]_0 と書いても却って混乱するだけので,あまりその様に記載しないのではないかと存じます.


完全系列の方ですが,Im f' = Ker g' の証明について細部まで確認しておりませんが,解釈としてはその通りです.念の為,注意しておきますが,f' が単射であること,g' が全射であることも一応触れておく必要があるかと存じます.

そもそも 57561 の私の発言にあります通り,単なる線形代数の話ですす.U, V, W が k-線形空間で,U = U_0 + U_1, V = V_0 + V_1, W = W_0 + W_1 と直和分解されているとします(+ は直和と解釈して下さい).

このとき,系列

 0 -> U -> V -> W -> 0

が完全で,線形写像 U -> V, V -> W をそれぞれ f, g とおいたとき,

 f(U_i) ⊂ f(V_i),g(V_i) ⊂ f(W_i)

が i = 0,1 について成立するならば,f, g を U_0, V_0 に制限することで完全系列

 0 -> U_i -> V_i -> W_i -> 0

が得られませんか?因みに,この事実は有限直和でなくても,無限直和でも成立しますし,より一般に環上の加群でも問題ありません.ホモロジー代数学関連の書籍を読んで頂ければ,直和の概念の説明あたりに,まず間違いなく書かれているかと存じます.

そもそも次数付き k-代数 R の斉次イデアル I による剰余環 R/I に次数を入れる際に,

 [R/I]_i := i 次の元のなす部分空間 := R_i/I_i

と定義しているとおもいます([-]_i は i 次斉次元が生成する部分空間を表します)
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57573.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年07月30日(月) 02時58分
返事が遅くなり誠に申し訳ありません. 反省しております.


以下, 長文ですが何卒ご容赦ください.



------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
> [I・S_{X_i}]_0 を I・[S_{X_i}]_0 と書かないのは何故か?
というご質問についてですが,そもそも,S から [S_{X_i}]_0 への環準同型が与えられない限り,その様に書けない(その様な S_{(X_i)} のイデアルは定義できない)です.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


とのことですが,自分としては気になったため 環S から 環[S_{X_i}]_0 への準同型は存在しないことを念のため確認しておきました.


(証) 環準同型 f:S→[S_{X_i}]_0 が存在するとする. Sの単元はk-{0}で,
[S_{X_i}]_0 の単元は1(=1/1) のみである. fは準同型よりSの単元を[S_{X_i}]_0 の単元に写す.
よって, ∀x∊k-{0}, f(x)=1∊[S_{X_i}]_0 である. ここで, x,y(≠-x)の2元に対し x+y∊k-{0}なので f(x+y)=1 となるはずだが, f(x+y)=f(x)+f(y)=2 より矛盾.
したがって, 環S から 環[S_{X_i}]_0 への準同型は存在しない. (証明終了)




そして, 件の同型について自分なりに解釈してみました.



まず, S加群からなる 短完全列
0 -> I -> S -> (S/I) -> 0
を考える.


このとき, 積閉集合{1,X_i,X_i^2,…}による局所化もまた完全だから
S_{X_i}加群からなる短完全列
0 -> I・S_{X_i} -> S_{X_i} -> (S/I)_{X_i} -> 0
が得られる.


上の完全系列における
単射の環準同型を f : I・S_{X_i} -> S_{X_i},
全射の環準同型を g : S_{X_i} -> (S/I)_{X_i} とおく.


また,
I・S_{X_i}のゼロ次成分を I_0 (つまり,[I・S_{X_i}]_0),
S_{X_i}のゼロ次成分を S_0 (つまり,[S_{X_i}]_0),
(S/I)_{X_i}のゼロ次成分を T_0 (つまり,[(S/I)_{X_i}]_0)

とおくと f(I_0)⊂S_0, g(S_0)⊂T_0 である.


f,gの定義域をそれぞれI_0, S_0 に制限したものを f',g' とする.


ここで, Im(f')=Ker(g')を言えば
0 -> I_0 -> S_0 -> T_0 -> 0
つまり,
0 -> [I・S_{X_i}]_0 -> [S_{X_i}]_0 -> [(S/I)_{X_i}]_0 -> 0 
が [S_{X_i}]_0 加群からなる完全系列であることが分かり, 求める同型が得られる.


なので, Im(f')=Ker(g') を示す.

(証) x∊Im(f')⊂S_0 とすると, あるd次斉次式F∊I(Y)が存在して x=F/X_i^d と表せる. g'(x)=(F+I(Y))/X_i^d だが, F∊I(Y)より
F+I(Y)=0+I(Y). よって, g'(x)= 0/X_i^d = 0 より x∊Ker(g').
逆に, x∊Ker(g')⊂S_0 とすると, 同様にあるd次斉次式G∊I(Y)が存在して
x=G/X_i^d と表せる.これは明らかに, x∊Im(f')である.
したがって,Im(f')=Ker(g').


以上となります,




通りすがり 様が回答 57557.の最後において


> この系列に現れる射は全て次数を保つ射なので,完全系列
0 -> [I・S_{X_i}]_0 -> [S_{X_i}]_0 -> [(S/I)_{X_i}]_0 -> 0
が得られます.


と仰ったのは, 上のような解釈でよろしいのでしょうか.
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57561.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年07月28日(土) 13時52分
[代数幾何学]ハーツホーン さん

件の同型の問題ですが,一旦,環構造を忘れて,k-線形空間としての構造のみに着目すると分かり易いのではないかと存じます.
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57560.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年07月28日(土) 11時49分
通りすがり 様のご回答を精読させてください.


最悪,お返事は明日になるかもしれません.


(添付画像は前と同じPDFです. 間違ってupしてしまいました.)
http://xfs.jp/KHjpRH
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57557.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年07月28日(土) 07時23分
tex で pdf を作成したいのはやまやまなのですが,ファイルアップローダの場合,他の方が閲覧できなくなるおそれや,up したファイルが直ぐに消されてしまうおそれがあることから,これまでのスタイルでご回答いたします.見づらいことは重々承知しておりますが,ご容赦願います.

今回の問題は,全て S とその局所化に関する話なので,以下,記号の簡略化の為に,

 I := I(Y),

と定めます.また,[M]_0 で M の 0 次の斉次元全体のなす部分空間を表すことにします.

従いまして,
 
 ・(I(Y)・S_X_i)∩S_(X_i) = [I・S_{X_i}]_0
 ・(S/I)_{(X_i)} = [(S/I)_{X_i}]_0
 ・S_{(X_i)} = [S_{X_i}]_0

です.複雑に見えますが,下記の説明を読んで頂けると,この記法の利点がご理解頂けるかと存じます.

まず,

 [I・S_{X_i}]_0 を I・[S_{X_i}]_0 と書かないのは何故か?

というご質問についてですが,そもそも,S から [S_{X_i}]_0 への環準同型が与えられない限り,その様に書けない(その様な S_{(X_i)} のイデアルは定義できない)です.

次に,同型
 
 [S_{X_i}]_0/[I・S_{X_i}]_0 \cong [(S/I)_{X_i}]_0 … (*)

についでですが,これは

 [-]_0 を取る操作が斉次イデアルによる商をとる操作と可換である

ことから,直ちに従います([-]_0 は単に k-部分空間としての直和因子をとっているだけであることに注目して下さい).

ホモロジー代数的な視点からは,次の様に説明できます.局所化をとる操作と商をとる操作が可換なので,完全系列

 0 -> I・S_{X_i} -> S_{X_i} -> (S/I)_{X_i} -> 0

が得られます.この系列に現れる射は全て次数を保つ射なので,完全系列

 0 -> [I・S_{X_i}]_0 -> [S_{X_i}]_0 -> [(S/I)_{X_i}]_0 -> 0

が得られます.従いまして, (*) が成立します.
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57555.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年07月28日(土) 03時42分
I(Y)の任意の元fは同型写像によって (I(Y)・S_X_i)∩S_(X_i)に写ることは納得いたしました.


申し訳ありませんが,さらに疑問がございます.


PCでいちいち入力すると, 記号面で誤解が生じかねないので
TeXで作り PDFにしました.


画像リンクを貼っておきます.
http://xfs.jp/KHjpRH
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57554.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年07月28日(土) 03時28分
> もともと Y_iが空集合ならば座標環A(Y_i)はゼロ環で
> S(Y)_(X_i)もゼロ環のため 両者が同型なのは自明だと思います.
>ですので、最初からY_iは空ではないと仮定してもよいのではないでしょうか?  

ご指摘の通りかと存じます.どちらにするかは好みの問題ですね.
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57553.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年07月28日(土) 01時53分
私がよく分かっていないだけかもしれませんが,

もともと Y_iが空集合ならば座標環A(Y_i)はゼロ環で

S(Y)_(X_i)もゼロ環のため 両者が同型なのは自明だと思います.



ですので、最初からY_iは空ではないと仮定してもよいのではないでしょうか?  

素人考えですが・・・
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57552.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年07月28日(土) 00時40分
あ さん

詳細なご説明ありがとうございます.


[代数幾何学]ハーツホーン さん

私の説明の

> β(I(Y_i)) は I(Y) の部分集合 … (*)

ですが,これは Y_i が空集合の場合,偽となりますので,このケースの場合を想定し,

 F(f) = (1/x_i^(deg f))β(f)

ではなく,あ さんの様に,

 F(f) = (1/x_i^(deg f + 1)) x_iβ(f)

とする必要がありますね.失礼致しました.
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57549.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年07月27日(金) 22時35分
> あ 様

投稿がすれ違いになってしまい申し訳ありません.

あ 様のご助言も読ませていただきます.


しばし, お待ちください.
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57548.Re: 難・代数幾何学  
名前:    日付:2018年07月27日(金) 22時28分
定理3.4の証明ですかね.

テキストの記法に従ってkを固定された代数閉体とします.
A=k[y_1,...,y_n]とS=k[x_0,...,x_n]を多項式環とします。
S_(x_i)と書いたら,Sの{1,x_i,(x_i)^2,...}による局所化S_x_iの0次の元全体が成す部分環を表すものとします.
このときAの元f(y_1,...,y_n)にS_(x_i)の元f(x_0/x_i,...,x_n/x_i) (x_i/x_iは除く)
を対応させる写像はAからS_(x_i)への環同型になるのでした.
この環同型をφと書くことにします.
ここまではよろしいですね.

我々の目標はφ(I(Y_i))=(I(Y)・S_x_i)∩S_(x_i)を示すことです.
まず⊂の包含を示しましょう.
f(y_1,...,y_n)∈I(Y_i)とすると,そのφによる像は(x_i)^(1+deg(f))f(x_0/x_i,...,x_n/x_i)・(1/(x_i)^(1+deg(f)))と書けるからI(Y)S_x_iの元です.
したがって⊂が示されました.

逆にf(x_0,...,x_n)∈I(Y),g(x_0,...,x_n)/((x_i)^(deg(fg)))∈S_x_i,fgを斉次多項式として
(fg)(x_0,...,x_n)/(x_i)^(deg(fg))=(fg)(x_0/x_i,...,x_n/x_i)∈(I(Y)・S_x_i)∩S_(x_i)とすると,
このφによる逆像はI(Y_i)に含まれます.
したがって⊃です.
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57547.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年07月27日(金) 22時30分
ああっ、なるほど!

目からうろこです。

ようやくわかりました。



仰る通り, I(Y)はβ(I(Y_i))たちで生成されるのであってイコールではありませんね・・・ , I(Y)⊃β(I(Y_i)) でした.


それはさておき,

deg f = d とおくと,

F(f)の分子はfの斉次化でd次斉次元であり I(Y)に含まれる.

そして,分母はx_i^d ということで F(f)の分母・分子の次数は等しいため

S_X_i = k[X_0,…,X_n]_X_i におけるゼロ次の元である.

よって,I(Y)の任意の元fは同型写像によって (I(Y)・S_X_i)∩S_(X_i)に写される.



ということですね!!
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57546.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年07月27日(金) 22時08分
まず,

> I(Y)=β(I(Y_i))

ですが,等号ではなく,β(I(Y_i)) は I(Y) の生成系になるだけです.

それは兎も角,

 β(I(Y_i)) は I(Y) の部分集合 … (*)

です.これを利用すると,

> I(Y_i)を (I(Y)・S_X_i)∩S_(X_i)に写すのかどうか

が分かります.

> A^n の座標環 k[Y_1,…, Y_n] と S= k[X_0,…,X_n]の商環のゼロ次部分のなす部分環 k[X_0,…,X_n]_(X_i) との同型写像

を F とおくと,k[Y_1, ... , Y_n] の元 f に対し,

 F(f) = (1/x_i^(deg f))β(f)

となりませんか?これと (*) と踏まえれば,苦戦しておられる部分が解けるのではないかと存じます.
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57545.Re: 難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年07月27日(金) 19時44分
和書でも, 写像βが利用されております. 当該の U_i と A^n が同相であることの証明は読みました.

誘導に従って A^n の座標環 k[Y_1,…, Y_n] と S= k[X_0,…,X_n]の商環のゼロ次部分のなす部分環 k[X_0,…,X_n]_(X_i) との同型写像を作ることはできました.

しかし,「この同型はI(Y_i)を (I(Y)・S_X_i)∩S_(X_i)に写すから,商環を考えるとA(Y_i)と S(Y)_(X_i) は同型となる 」という部分が根本的に理解不能です.

I(Y_i)を (I(Y)・S_X_i)∩S_(X_i)に写すのかどうかで苦戦しております.

また, I(Y)=β(I(Y_i)) というのは理解しています.
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57541.Re: 難・代数幾何学  
名前:通りすがり    日付:2018年07月27日(金) 07時40分
[代数幾何学]ハーツホーン さん

U_i := P^n - Z(x_i) と A^n が同相である旨の主張が記載された命題が,第一章,第二節にあると思います.当該命題の証明にほぼ解答が記載されています.

本証明において,アフィン空間 A^n の座標環とから射影空間 P^n の座標環 S の斉次多項式全体のなす集合 S^h への写像 βが定義されています(英語版では,βが利用されています.日本語版は手元にありませんので,日本語版ではどのような記号が利用されているか分かりません).

β自身は環準同型ではありませんし,そもそも S^h への写像ですので,そのままでは利用できませんが,今回は S(Y)_(X_i) への環準同型を構成したいことを踏まえると,どうすればよいか自ずと見えてくると思います.
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57530.難・代数幾何学  
名前:[代数幾何学]ハーツホーン    日付:2018年07月27日(金) 00時02分
射影多様体 Y⊂P^n とYの斉次座標環をS(Y)とおく. また, U_i=P^n-Z(x_i)とし, Y_i=Y∩U_i (Y_iはアフィン多様体とみなせる)とおく. このとき, Y_iの座標環 A(Y_i)と S(Y)_(X_i) が同型であることを示せ.

(ただし,S(Y)_(X_i) はX_iの非負整数ベキの集合による積閉集合での商環S(Y)_X_i のゼロ次の斉次元(分母分子の次数が等しい斉次元)たちのなす部分環とする )


これがよく分かりません。ヒントだけでもご教示願います。
(ハーツホーン 代数幾何学1 p.25)

画像リンクを一応貼っておきます。
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