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57544.Re: 凸集合  
名前:通りすがり    日付:2018年07月27日(金) 15時06分
HELP さん

改めて読み直しましたが,

> α•y1+(1-α)y2 >=α•x1^2+(1-α)x2^2

ではダメですね.

 (α・y_1 + (1-α)y_2,αx_1 + (1-α)x_2)

を座標に持つ点が D に属することを示さねばならないので,

α・y_1 + (1-α)y_2 >= (αx_1 + (1-α)x_2)^2 … (*)

が成立することを示す必要があります.
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57542.Re: 凸集合  
名前:HELP    日付:2018年07月27日(金) 08時58分
通りすがり さんありがとうございますm(_ _)m
色々と指摘していただきとても助かりました。お陰で証明が自分でも分かり易くなりました。

Dの点より…についてですが確かに言葉足らずでした。他にも全体的に説明が乏しいことが分かったので、変更したいと思います。

ありがとうございました。
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57532.Re: 凸集合  
名前:通りすがり    日付:2018年07月27日(金) 02時39分
HELP さん

概ねこれで良いと思いますが,HELP さん自らが,それを確信できるまで,ご自分の解答を確認するようにしましょう.

以下,主観的ですが,教育的な観点から気になったところを述べておきます.[1] 以外は,このように修正すると,「解答としてより丁寧である」くらいのものです(要は,この様にしておけば,細かい採点者から「減点」とされる可能性を極力減らせるというものです).

[1]

> Dの点より y1>=x1^2 y2>=x2^2

は意味不明です.「D の点」と[「y1>=x1^2 y2>=x2^2」は無関連です.
「(x_1,y_1), (x_2,y_2) は共に D に属する点なので」などと書くべきです(「何が」にあたる部分を書かなければ意味がない).

[2]

> 任意の実数 0<= α <=1 に対して
> α•y1+(1-α)y2 >=α•x1^2+(1-α)x2^2

「0 <= α,0 <= 1 - α,y1>=x1^2,y2>=x2^2 より」という注意を入れると,より丁寧になると思います.

[3]

> 以上より
> 集合Dは凸集合である

「以上より」の後に,「D 内の任意の 2 点を端点とする線分が D に含まれるので」といれると,より丁寧でしょう.
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57531.Re: 凸集合  
名前:HELP    日付:2018年07月27日(金) 01時18分
お二方ありがとうございます。
アドバイスをもとに調べて考えた結果このような証明になったのですがどうでしょうか?

集合D内の任意の2点を(x1,y1)(x2,y2)とする。
Dの点より y1>=x1^2 y2>=x2^2

任意の実数 0<= α <=1 に対して
α•y1+(1-α)y2 >=α•x1^2+(1-α)x2^2
よって
α(x1,y1)+(1-α)(x2,y2)∈D
以上より
集合Dは凸集合である
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57528.Re: 凸集合  
名前:通りすがり    日付:2018年07月26日(木) 20時54分
HELP さん

> 凸集合であるためには直線Aとグラフの交点の数が2以下である必要がある。

についてですが,例えば,

 {(x,y)∈R^2 | y >= 0}

は凸集合ですが,グラフ y = 0 は,直線 y = 0 と無数に交点をもちます.従いまして,上記の HELP さんの主張は直ちに正しいとはいえません.

あ さんのご回答にある凸集合の定義に基づいてよく考えることが大切です.

 ・(x,y) が D に属する為の必要かつ十分条件は何ですか?
 ・(x_1,y_1),(x_2,y_2) を端点とする線分上の点(の座標)は
  x_1, y_1, x_2, y_2 を用いてどのように表せますか?

以上の点について,きちんと整理して下さい.そうすると,解答が見えてくるのではないかと存じます.
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57527.Re: 凸集合  
名前:    日付:2018年07月26日(木) 18時19分
Sが凸集合であるとは任意のx,y∈Sに対し(x,yを端点とする線分)⊂Sです。
ほとんど明らかじゃないですか?
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57526.凸集合  
名前:HELP    日付:2018年07月26日(木) 17時43分
題名をつけ忘れていました。

集合 D={(x,y)∈R^2 | y>=x^2} が凸集合であることを証明せよ

これの明確な解き方が分かりません。
案としては、「凸集合であるためには直線Aとグラフの交点の数が2以下である必要がある。今回のy=x^2のグラフは凸関数なのであらゆる直線との交点数は2以下なので証明出来る。」的なことを考えたのですがどうですか?
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