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57516.Re: 多項式環  
名前:sh    日付:2018年07月25日(水) 20時19分
通りすがりさん、nakaさんありがとうございます
nakaさんのやり方でKerφ⊂(x^2y^3-1)であることが分かったので、
通りすがりさんの逆写像を構成する方法でも解いてみたいと思います。
ありがとうございました!
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57512.Re: 多項式環  
名前:通りすがり    日付:2018年07月25日(水) 16時20分
57504 の私の発言

> ψ: Q[t] -> A を ψ(t) = x^2 で定めます

についてですが,ψは ψ(t) = xy で定める必要がありました.訂正してお詫びいたします(他の部分は全く同じです).

naka 様のアイデアを拝読して,次の様な案も思いつきましたので,参考までに記載致します.

V_i (i は整数) を
 G_i := {x^j・y^k | j, k は非負整数で,3j - 2k = i を満たす}
で貼られる Q[x,y] の Q-部分空間とします(つまり,V_i := φ^{-1}(Qt^i)).

Q[x,y] は V_i 達の直和で,Q[t,1/t] はφ(V_i) = Qt^i の直和なので,φの V_i への制限 φ_i := φ|_{V_i} の核が (x^2y^3-1) に属することを示せば良いことになります(φは Q-線形写像でもあり,環準同型としての核と,Q-線形写像としての核は一致していることに注意).

不定方程式 3j - 2k = i の解に着目すれば,V_i の任意の元 f は,ある G_i の元 u と有理数 a_0,... a_n を用いて

 f := a_0・u + a_1・u(x^2y^3) + a_2・u(x^2y^3)^2 + … + a_n・u(x^2y^3)^n

と表せることが分かります.更に,φ(f) = (a_0 + a_1 + … a_n)t^i
なので,φ(f) = 0 ならば,a_0 + a_1 + … + a_n = 0,即ち,

 a_0 = -a_1 - a_2 - … - a_n

です.故に,f は
 a_s・u((x^2y^3)^s-1)
を s = 1,2,...,n に渡り足し合わせたものに一致します.

(x^2y^3)^s - 1 = (x^2y^3 - 1)(1 + x^2y^3 + … +(x^2y^3)^{s-1})

なので,以上を合わせれば, f が (x^2y^3-1) に属することが分かります.
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57505.Re: 多項式環  
名前:naka    日付:2018年07月25日(水) 11時32分
私も逆写像を作る方が簡単だと思いますが、一応 Kerφ⊂(x^2y^3-1) の確かめ方も記述しておきます。

任意に Q[x,y] の元を取った時
q(x,y)(x^2y^3-1)+(f_1(y)x+f_0(y))y^3+g_2(x)y^2+g_1(x)y+g_0(x)
の形で表せます。この形で表してからφで写すと
(f_1(1/t^2)t^3+f_0(1/t^2))/t^6+g_2(t^3)/t^4+g_1(t^3)/t^2+g_0(t^3)
となります。

これが 0 になるとすると、まず次数(tの指数)が-5以下の項は
(f_1(1/t^2)t^3+f_0(1/t^2))/t^6
にしか現れず、逆にここには次数が-5以下の項しかないので
f_1(1/t^2)t^3+f_0(1/t^2)=0
となることが分かります。さらに f_1(1/t^2)t^3 における項の次数は奇数で、f_0(1/t^2) における項の次数は偶数なので
f_1(1/t^2)=f_0(1/t^2)=0
つまり f_1(y)=f_0(y)=0 が分かります。

よって
g_2(t^3)/t^4+g_1(t^3)/t^2+g_0(t^3)=0
ですが、これも t の次数を3で割った余りに注目すれば
g_2(t^3)=g_1(t^3)=g_0(t^3)=0
が分かります。

以上より kerφ⊂(x^2y^3-1) が分かります。

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57504.Re: 多項式環  
名前:通りすがり    日付:2018年07月25日(水) 10時56分
sh 様

逆写像を構成するとよいと思います.

(x^2*y^3-1)⊂kerφ は明らかなので,φは A から B への環準同型 φ^-(φの上にバーを付けたもの)を導きます.以下のヒントを頼りに,このφ^- の逆写像を構成してみてください.

S := {1,t,t^2,...} と定めると,S は Q[t] の積閉集合であり,B は Q[t] の S に関する局所化と同型です.

ψ: Q[t] -> A を ψ(t) = x^2 で定めます.すると,非負整数 n に対し,ψ(t^n) はある性質を有する A の元になります.この事実と「局所化の普遍性」(と上述の同型)を利用すると,環準同型 B -> A が得られます.後は,この写像とφ^- の合成が恒等写像になることを確かめれば終わりです.
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57499.多項式環  
名前:sh    日付:2018年07月25日(水) 03時03分
(問題):Qを有理数体とする。
以下で定義するAとBは環同型か?
A:=Q[x,y]/(x^2*y^3-1)
B:=Q[t,1/t]
――――――――――――――――――
(自分の考え):Q[x,y]からQ[t,1/t]への全射環準同型写像φを
φ(f(x,y))=f(t^3,1/t^2) と定めて、
kerφ=(x^2*y^3-1)を示して準同型定理からAとBが同型であることを、
示そうとしたのですが、
kerφ⊂(x^2*y^3-1)が成り立つか分かりません。
どなたかこの問題お願いします。見辛いとは思いますがよろしくお願いします。
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