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57356.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:IT    日付:2018年07月14日(土) 17時41分
どんべえ 様

>通りすがりさんの57340のコメントの
「パート 2 では (B) ならば (A) を示していることになります」
はどうしてそう言えるのでしょうか?

私の回答の57342の後半(2)がそれで「(B) ならば (A) 」を示していますよね。

(注)(A),(B)は、どんべえさんの57289に従っています。取り違えがないか再確認してください。
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57353.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:通りすがり    日付:2018年07月13日(金) 21時37分
下記の投稿の

> 把握されていないのではないように感じます

は「把握されていないように感じます」の誤りです.

訂正してお詫び申し上げます.
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57352.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:通りすがり    日付:2018年07月13日(金) 19時56分
どんべえ 様

> パート2の部分では数学的帰納法により、(任意の自然数nについて)「AならばB」ということを
証明しているのではないのですか?

重箱の隅をつつくようで恐縮ですが,

> (任意の自然数nについて)「AならばB」

の「任意の自然数 n について」という文言は一切不要です.「任意の自然数 n について」という文言は,A, B それぞれの文中に記載しています.

尚,私が記載した (A),(B) に関する「(A) ならば (B)」と

任意の自然数 n について「『a[1] = ..., a[n+1] = ...』ならば『a[n] = ...』」

は全く異なる主張であることに注意して下さい(「任意の自然数 n について」という語句がどの部分を修飾しているか意識する必要があります).

さて,ご質問の件ですが,既に,「(B) ならば (A)」である理由を前回の回答で明確に記述しております.

察するにそもそも「仮定」と「結論」,これらの意味等をきちんと把握されていないのではないように感じます.

ここら辺を整理して頂く為に,お手数をお掛けしますが,次の私の問にお答えください.

「数列 {a[n]} は,
  条件 a[1] = 1,
  任意の自然数 n に対し,a[n+1] = a[n] + 1
を満たす.このとき,任意の自然数 n に対し a[n] = n が成立する」

この命題を証明する際の「仮定」と「結論」は何かお答えください.
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57351.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:どんべえ    日付:2018年07月13日(金) 17時40分
ITさん、通りすがりさん、再びコメントありがとうございます。

nを自然数として、数列{a[n]}の一般項a[n]が
(A)a[n]=2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1)))
(B)a[1]=5/2,a[n+1]=a[n]^2-2
であることは同値かという質問で、
(正確には「AならばB」であることは分かるが、「BならばA」であることを示せるかという質問)

(B)によって数列{a[n]}が一意に定まること(デデキントの再帰定理)を認めれば
「BならばA」を示す必要はないと理解しかけましたが・・・また分からなくなってしまいました。

通りすがりさんの57340のコメントの
「パート 2 では (B) ならば (A) を示していることになります」
はどうしてそう言えるのでしょうか?

パート2の部分では数学的帰納法により、(任意の自然数nについて)「AならばB」ということを
証明しているのではないのですか?

呑み込みが悪くて申し訳ありません。
ご教示頂ければ幸いです。
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57345.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:通りすがり    日付:2018年07月12日(木) 03時54分
IT 様

仰る通り,「存在と一意性」を仮定してしまうと,(1)の解答で十分ですね.

そもそも「一般に『A ならば B』を示す必要が無い」ということを保証するには,「条件を満たす数列が存在する」という事実で十分でした.

ご指摘ありがとうございます.
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57342.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:IT    日付:2018年07月12日(木) 14時20分
例示された
(B)a[1]=5/2,任意の自然数nについてa[n+1]=a[n]^2-2のとき、
数列{a[n]}の一般項を求めよ。の場合

「(B)によって数列{a[n]}が一意に定まること」を認めれば、
 
(A)任意の自然数nについて a[n]=2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1))) を示す方法は
下記(1)(2)の2通りあり、どちらか一方でよいと思います。

(1)(A)任意の自然数nについて a[n]=2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1)))のとき
    a[1]=5/2,
    また、任意の自然数nについて
      a[n+1]=2^(2^n)+1/(2^(2^n))
      a[n]^2-2=(2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1))))^2-2=2^(2^n)+1/(2^(2^n))
   よってa[n+1]=a[n]^2-2
    
   すなわち(B)を満たす。
   したがって 求めるa[n]=2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1)))

(2)(B)a[1]=5/2,任意の自然数nについてa[n+1]=a[n]^2-2のとき
    n=1のとき,a[n]=a[1]=5/2=2^(2^(1-1))+1/(2^(2^(1-1)))=2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1)))
    ある自然数nについて a[n]=2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1))) と仮定すると
    a[n+1]=a[n]^2-2 (∵(B)より)
       =(2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1))))^2 - 2(∵帰納法の仮定より)
       =2^(2^n)+1/(2^(2^n))
       =2^(2^((n+1)-1))+1/(2^(2^((n+1)-1)))

    よって数学的帰納法により、
   (A)任意の自然数nについて a[n]=2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1)))

なお(1)の証明では、明には数学的帰納法を使っていません。
(2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1))))^2-2=2^(2^n)+1/(2^(2^n))で暗に帰納法を使っているのだと思います。
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57340.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:通りすがり    日付:2018年07月11日(水) 21時02分
つづきです.

> 通りすがりさんのコメント中の「B ならば A」と「A なら B」は反対ですよね?

いえ,反対ではありません.この問題の解答例は以下の様になると思います.説明の便宜上,2 つのパートに分けます.

------------------------
解答例はじめ

パート 1

a[1] = ..., a[2] = ..., ... であるから,数列 a[n] の一般項は

a[n] = ...   (*)

と推察できる.

パート 2

そこで,(*) (先の私の回答の (A) に相当)を n に関する数学的帰納法を用いて示す.…数学的帰納法を用いた論述…

解答例おわり
---------------------------

この先の回答でも述べましたが,パート 1 に関しては,単なる解答者の妄想であり,数学の命題論証の範疇のものではありません.この部分はあくまで,パート 2 において,(*) を示すに至った自分の考えを採点者にアピールするためのものです.従いまして,教育的な観点を排除し,数学的な観点から述べれば,このパートは全く不要です(いきなりパート 2 から始めても全く問題ない).

実際に数学の論証を行っているのは,パート 2 の部分です.この部分では,「単に (*) を示す」と述べていますが,言わずもがな,「問題で与えられた前提条件が成立する」という仮定の下,証明を行うという意味です.

件の問題では,この前提条件とは (B) のことです.従いまして,パート 2 では (B) ならば (A) を示していることになります.
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57339.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:通りすがり    日付:2018年07月11日(水) 20時48分
どんべえ 様

> 上記の言明は、何等かの定理として知られているものなのでしょうか?

デデキントの再帰定理という定理があります.ただ,個々の問題の場合は,本定理を利用しなくて済みます.

例えば,一般項が 2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1))) である数列を b[n] とおくと,(これは具体的に構成しているので存在する)この問題の解答では,(B) の条件を満たす数列 a[n] について, (A)(後述の通り,これは間違いではありません),即ち,a[n] = b[n] が示されていますので,(B) の条件を満たす数列が存在するならば,それは数列 b[n] しかありません.後は,b[n] が実際に (A) を満たすことを確かめれば,(B) の条件を満たす数列の存在,並びに,一意性が示されたことになります.

長くなるので,残りのものは別立てにします.
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57336.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:IT    日付:2018年07月11日(水) 19時11分
>数列の値が一意に定まるから、1つでも一般項の表現式が求まれば必要十分という理解で良い訳ですね。

そう思います。
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57331.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:どんべえ    日付:2018年07月11日(水) 17時33分
ITさん、通りすがりさん、コメントありがとうございます。
返信が遅くなってしまいごめんなさい。

> ITさん
数列の値が一意に定まるから、1つでも一般項の表現式が求まれば必要十分という理解で良い訳ですね。

> 通りすがりさん
「数列の初項と漸化式が与えられたとき,その条件を満たす数列は一意的に存在することが知られている」
から解が1つ求まれば他に解は無いと言える訳ですね。
上記の言明は、何等かの定理として知られているものなのでしょうか?
よろしければ出典などを教えてください。

尚、通りすがりさんのコメント中の「B ならば A」と「A なら B」は反対ですよね?
もし反対ではないのなら、もう少し詳しく説明して頂けると助かります。

よろしくお願いいたします。
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57297.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:通りすがり    日付:2018年07月09日(月) 03時33分
横から失礼します.

そもそもどんべえ様が 57276 で仰られた

…というパターンの解法があると思います。

の解法において示しているのは,「B ならば A」,より正確には,数列 a[n] 関する次の命題 A, B について

(B) a[1] = 5/2,かつ,任意の正の整数 n に対し,a[n+1] = a[n]^2-2

(A) 任意の正の整数 n に対し a[n] = 2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1)))

「B ならば A」であることを示しています.因みに,「a[n] を予想して云々」は証明とは一切無関係のもの(回答者の単なる予想であり,証明に全く必要はない),惑わされない様にして下さい.

従って,本来は「A ならば B」も示す必要があるのですが,実は,条件 (B) の様に,数列の初項と漸化式が与えられたとき,その条件を満たす数列は一意的に存在することが知られているので,「A ならば B」の証明は不要となります.
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57290.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:IT    日付:2018年07月09日(月) 00時20分
> a[n]の値は一意に定まり、その一般項の表現式が1つ求まったら
それが唯一の表現式と考えてしまっても良いものなのか納得がいかないのです。

a[n]の値が一意に定まり、その一般項の表現式が1つ求まったら、それで良いと思います。
「唯一の表現式」である必要はないと思います。(より簡明な式が望ましいとは思いますが、)
 
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57289.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:どんべえ    日付:2018年07月08日(日) 22時53分
ITさんコメントありがとうございます。
具体的には以下の問題を考えていて疑問を持ちました。

数列{a[n]}を次の様に定義する。ただしnは自然数とする。
a[1]=5/2,a[n+1]=a[n]^2-2
(1)a[3]を求めよ。
(2)数列{a[n]}の一般項を求めよ。

上記の(1)は誘導だと思います。
a[1]=5/2=2+1/2
a[2]=(5/2)^2-2=25/4-2=17/4=4+1/4
a[3]=(17/4)^2-2=289/16-2=257/16=16+1/16
ですから
a[n]=2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1)))
と予想できます。

ここで上記予想のa[n]=2^(2^(n-1))+1/(2^(2^(n-1)))を命題Aとします。(命題と呼んで良いのかは自信がありません。)
そして漸化式a[n+1]=a[n]^2-2を命題Bとします。

命題Aを仮定すると
a[n]^2-2={2^(2^n)+2+1/(2^(2^n))}-2=a[n+1]
と命題Bを満たすことが分かります。
つまり「AならばB」が真なのでAはBの十分条件だと思います。

でもAはBの必要条件であることは示していませんので、他に解がある可能性は排除できていないと思います。
B(と初期条件a[1]=5/2)を仮定してAを演繹することはできるのでしょうか?
或いはAがBの必要条件であること(A以外に解が無いこと)を示すことができるのでしょうか?

a[n]の値は一意に定まり、その一般項の表現式が1つ求まったら
それが唯一の表現式と考えてしまっても良いものなのか納得がいかないのです。

よろしくお願いいたします。
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57287.Re: 必要条件と数学的帰納法  
名前:IT    日付:2018年07月08日(日) 16時03分
(1)問題文に示された条件から どこかでa[n] が1意に定まらないような場合を想定しておられるのでしょうか?
それだと{a[n]}は定まりませんが、そのような問題は出題されることはないのでは?

a[n+1]=(a[1],....,a[n] に対して一意に値が定まる式)の場合は大丈夫ですよね。

また、数学的帰納法で証明した場合、a[1],a[2],....,a[n](の全部または一部)から
a[n+1]を導出しており、求めた{a[n]}以外に解はありえないと思いますが

具体的な問題例で疑問があれば示していただけると,より確実な回答が出来易いと思います。
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57276.必要条件と数学的帰納法  
名前:どんべえ    日付:2018年07月07日(土) 22時17分
抽象的な質問ですがよろしくお願いいたします。
大学の数学科を出ている訳ではないので頓珍漢な質問だったら申し訳ありません。

高校数学の問題では数列の一般項a[n]を求める問題で
(1)問題文に示された条件からa[1],a[2],a[3]などを求める。
(2)一般項a[n]の形を予想して数学的帰納法によりその予想が正しいことを証明する。
というパターンの解法があると思います。

私が疑問に思うのは上記解法だと予想した一般項a[n]の十分条件を確認しただけで
必要条件を確認していないのではないかという点です。
つまり予想した一般項a[n]以外にも解があるかもしれないと思えるのです。

上記解法は高校数学だから許されるものであって厳密性に欠ける解法と考えてよいのでしょうか?
本来は必要条件を調べ、他に解が無いことを示すか全ての解を求めることが要求されるのでしょうか?

御助言頂ければ幸いです。
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