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DS 数学 BBS・2
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57500.Re: 微分積分学についてです  
名前:さる    日付:2018年07月25日(水) 03時12分
どうでも良いことですが。
>√(x^2+A) を含む関数の積分は,x+√(x^2+A)=u と置く のも,高校生も是非知っておくべき置換法です。
>後々,双曲線関数の学習にもつながりますし。
ここまで書くなら、双曲線関数を使った置換も(見た目が違うだけなのではありますが)紹介しては?

√(1-x^2) が非積分関数に出てくるときに x=sin t で置換してみるというのはよくある手段です。

そして、√(1+x^2) が非積分関数に出てくるときには x=sinh tで置換してみるというのも全く同じ発想です。

√(x^2-1) が非積分関数に出てくるときには x=cosh t で置換するのも同じ。

で、例えば x=sinh tで置換するというのは、
t=sinh^(-1) x=log[x+√(x^2+1)]
で置換するということに他ならないわけですが、ここで x+√(x^2+1)
が出てきているのが、u=x+√(x^2+1) という置換が上手くいく理由にもなっているわけです。

ま、それだけ。
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57498.Re: 微分積分学についてです  
名前:通りすがり    日付:2018年07月24日(火) 18時03分
数学生 さん

山旅人さんの問題 (2) に関する解答ついてですが,確かに山旅人さんの解答の書き方では,高校で教わっていない範囲の事実を用いたようになっていますが,以下の様に考えると,本質的に同じ議論を高校の範囲で行えます.

I := ∫x/√(a^2+x^2)dx とおく.

 I = ∫1/(2√(x^2+a^2))・(d/dx)(x^2+a^2) … (*)

であるから,u に関する関数 1/(2√u) について,u := x^2+a^2 とおくと,

 I = ∫1/(2√u)du

が成立する.従って,

 I = (1/2)∫1/√udu = √u + C = √(x^2+a^2) + C

である.

「センスを必要とする解き方もなるべく排除スべきです」というお発言についてですが,数学(のみに限ったことではありませんが),「柔軟な発想力」は大切であり,問題として,この「柔軟な発想力」を問うような問題を作成するのは,なんらおかしなことでは無いのでは?

上記の解答例では,合成関数の微分の公式を,ある種「逆の発想」で用いた方法であり,この「柔軟な発想力」に入れても良いのではないかと考えます.

また,教科書に「x/a = tanθとおけば良い」と書かれていても,それはあくまで一つの指針であって,「必ずそうせねばならない」という訳ではないでしょう.今回の問題の様に,色んな問題に触れ,より良い方法を知ったのであれば,次回にどんどんその方法を活用していけばよい話だと思います.

最後に,「DS 数学 BBS・2」では,大学以上の内容の問題を対象にしている訳ですから,ここで提出された問題は,必ずしも「高校で教わった内容のみを用いた解答」を提示しなければならないという訳ではないと思います.
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57482.Re: 微分積分学についてです  
名前:数学生    日付:2018年07月23日(月) 22時48分
一対一対応の演習や実教の数学3を持っていますが、
どちらもf(x)/(x^2+a^2)^{r}(r>0)ときたら、
x/a = tanθと置いて置換積分と書いてます。

僕は根拠もなく普通の人は到底思いつかないと言ってるのではない。
x^2+a^2 = uとおいて、うまくいったのはx' ・x= 1/2となったからにすぎない。
x/a = tanθと置くと書いてあるのは、そうしたほうが積分しやすい場合が多いからではないですか。
x/a = tanθと置くことよりも別の置き方を勧めてる参考書があるならいってほしいです。
それと、dx/du = 1/2x ⇔ 1/2・du = dx・xというように、
duとdxを一つの変数として計算するのは、
あまり教えられていないし、置換積分の意味がわからなくなるという欠点もあります。
形式的に計算できても、意味が理解できないというやり方についても、
受験を除けば肯定できないです。
少なくとも、そんな方法を用いるのは微分方程式からであって、
置換積分では使わなくとも解けます。
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57481.Re: 微分積分学についてです  
名前:山旅人    日付:2018年07月23日(月) 22時29分
>> わ さん
> (2)はきっかけも掴めませんでした。

x/√(a2+x2)dx の xdx ように,dx と積で結びついている部分を d○ と置けないかチェックすることは,置換積分の第一歩です。
ここでは,xdx=d(x2)/2 となりうまくいくから x2=u と置く。

それがうまく行かない場合には別の置換法を調べる ← 第二歩。
 

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57478.Re: 微分積分学についてです  
名前:山旅人    日付:2018年07月23日(月) 20時12分
> x^2+a^2 = uと置くなど普通の人は到底考えつかないと

??? x^2=u と置くのなら常識でしょうか? 教科書や標準の参考書に書いてあります。

√(x^2+A) を含む関数の積分は,x+√(x^2+A)=u と置く のも,高校生も是非知っておくべき置換法です。
後々,双曲線関数の学習にもつながりますし。
 

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57477.Re: 微分積分学についてです  
名前:数学生    日付:2018年07月23日(月) 17時58分

(質問者さんへ)
計算間違いあったなら、すみません。
(1)の僕の解答は、明らかに処理能力が必要ですので、
最後の確実に解ける解き方というように思ってくれたほうがいいです。
仮に計算ミスしたとしても、解き方の流れでその意図を添削者は理解してくれるとおもうので。
僕の解答は、たしかに冗長で計算量が多いですが、
使ってる公式や解法は皆教科書や標準の参考書に書いてあることだけです。
∫1/√(x^2+a)dxの公式などまず出てきません。
そういうものをいきなり説明もしないで解答に出すというのは、
問題があると思います。
それと、センスを必要とする解き方もなるべく排除スべきです。
∫x/√(x^2+a^2)dxという問題がきて、
x^2+a^2 = uと置くなど普通の人は到底考えつかないと思います。
大体の人は、教科書に沿ってx^2+a^2がきたらx/a = tanθと置くでしょう。
教科書や参考書で習った型や解法を使えば、ほとんどの問題は解けるので、
そういう型や解法に沿った解答を出すべきだと思います。
計算量は多いですが僕の解答は、そういう意味で親切です。
その上で、ご自身にあった解法を選んでください。
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57474.Re: 微分積分学についてです  
名前:らすかる    日付:2018年07月23日(月) 10時25分
(1)に関して数学生さんの解答でxをtの式で表す部分に誤りがあるようですので
√{(x+1)/(x+3)}=tとおく方法の解答を書きます。

√{(x+1)/(x+3)}=tとおくと
x=-(3t^2-1)/(t^2-1)=1/(t+1)-1/(t-1)-3
dx={-1/(t+1)^2+1/(t-1)^2}dt
∫√{(x+1)/(x+3)}dx
=∫t{-1/(t+1)^2+1/(t-1)^2}dt
=∫{1/(t-1)-1/(t+1)+1/(t-1)^2+1/(t+1)^2}dt
=log|t-1|-log|t+1|-1/(t-1)-1/(t+1)+C1
=log|(t-1)/(t+1)|-2t/(t^2-1)+C1
=log|(√{(x+1)/(x+3)}-1)/(√{(x+1)/(x+3)}+1)|-2√{(x+1)/(x+3)}/((x+1)/(x+3)-1)+C1
=(x+3)√{(x+1)/(x+3)}-2log(√|x+3|+√|x+1|)+C
めでたく下の方法と同じ解答になりました。

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57473.Re: 微分積分学についてです  
名前:山旅人    日付:2018年07月23日(月) 07時40分
あぁ,その通りです。…結果の方ばかりに目が行っていました。・・・衰えた!!
 
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57468.Re: 微分積分学についてです  
名前:らすかる    日付:2018年07月23日(月) 01時01分
> 山旅人さん

√(x+3)=uとおくのはx<-3の場合にまずいのではないでしょうか。
そのようにおくのならば、例えば

x≧-1のとき√(x+3)=uとおくと
(中略)
=u√(u^2-2)-2log(u+√(u^2-2))+C
=√((x+1)(x+3))-2log(√(x+1)+√(x+3))+C

x<-3のとき√(-x-3)=uとおくと
(中略)
=-u√(u^2+2)-2log(u+√(u^2+2))+C
=-√((x+1)(x+3))-2log(√(-x-1)+√(-x-3))+C

二つ合わせて
∫√((x+1)/(x+3))dx=(x+3)√((x+1)/(x+3))-2log(√|x+1|+√|x+3|)+C

などのように場合分けして計算する必要があると思います。

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57467.Re: 微分積分学についてです  
名前:山旅人    日付:2018年07月23日(月) 00時09分
(1) √(x+3)=u とおくと,x+1=u2−2,dx=2udu
∫√((x+1)/(x+3))dx=∫(1/u)・√(u2−2)・2udu
  =2∫√(u2−2)du
  =u√(u2−2)−2log(u+√(u2−2))+C
  =√(x+3)√(x+1)−log(√(x+3)+√(x+1))+C

(2) x2+a2=u とおくと xdx=du/2
∫x/√(x2+a2)・dx=(1/2)∫u-1/2du
  =u1/2+C
  =√(x2+a2)+C
 

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57458.Re: 微分積分学についてです  
名前:数学生    日付:2018年07月22日(日) 09時37分
(1)の確実な解き方は置換積分と整式の割り算と部分数分解を用います。
[解法]
まず、√{(x+1)/(x+3)} = tと置きます。
これを式変形して、xをtの式で表すと、
x = - (3t-1)/(t^2-1) = - (3t-1)/{(t+1)(t-1)}
3t-1をt-1で割ると、(3t-1)/(t-1) = 3 + 2/(t-1)であるから、
x = -3/(t+1) - 2/(t^2-1)
これを商の微分法を利用して微分すると、
x' = 3/(t+1)^2 + 4t/(t^2-1)^2
x'にtを掛けると、
x't = 3t/(t+1)^2 + 4t^2/(t^2-1)^2
= 3/(t+1){1 - 1/(t+1)} + 4/(t^2-1){1 + 1/(t^2-1)}...(1)
ここで、部分数分解1/ab = 1/(b-a){1/a - 1/b}を用います。※b>a
右辺を通分すれば左辺になることを確認できます。
すなわち、1/(t^2-1) = 1/(t+1)(t-1) = 1/2 {1/(t-1) - 1/(t+1)}
これを(1)に代入して、
x't = 3/(t+1){1-1/(t+1)} + 2{1/(t-1) - 1/(t+1)}{1 + 1/2 {1/(t-1) - 1/(t+1)}} = 1/(t-1) + 1/(t-1)^2 + 2/(t+1) - 2/(t+1)^2
よって、∫√{(x+1)/(x+3)}dx = ∫x't dt = log|t-1| - 1/(t-1)
+ 2log|t+1| + 2/(t+1)
あとは、 t = √{(x+1)/(x+3)}と置き換えて計算すればよい。
もっと簡単な解き方はありそうです。

(2)は、x/a = tanθと置くことと1 + tan^2θ = 1/cos^2θを用います。
まず、x/aは実数全体なので、tanθも実数全体となるようにθを定めないといけない。
ここでは、-π/2 < θ < π/2と置くことにする。
x/a = tanθをx/√(a^2+x^2)に代入すると、
a・tanθ/√a^2(1+tan^2θ) = a・tanθ/(|a|/|cosθ|) ...(1)
a > 0かつcosθ> 0かつtanθ = sinθ/cosθであるから、
(1) = a・(sinθ/cosθ)/(a/cosθ) = sinθ
x = a・tanθであるから、x' = a/cos^2θ ※x'はxの導関数

よって、∫x/√(a^2+x^2)dx = ∫a・sinθ/cos^2θ dθ

ここで、(2)...∫f'(x){f(x)}^r dx = {f(x)}^{r+1}/(r+1) + Cを用います。
ただし、r≠1です。右辺を微分すればすぐわかります。
(2)より、∫a・sinθ/cos^2θ dθ = -a∫{cosθ}'/cos^2θ dθ
= a/cosθ + C
x/a = tanθ, 1 + tan^2θ = 1/cos^2θを用いて、
1 + x^2/a^2 = 1/cos^2θ ⇔ 1/cosθ = √(1+x^2/a^2)※cosθ>0
これを代入すれば、
∫x/√(a^2+x^2)dx = a√(1+x^2/a^2) + C = √(a^2+x^2) + C

g(x)/(a^2 + x^2)^kという式はまず、x/a = tanθとおくと解けるでしょう。これは解き方の型なので。
ただ、上記の2つの問題を解けなかったとしても心配はいらないでしょう。


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57226.Re: 微分積分学についてです  
名前:    日付:2018年07月04日(水) 02時29分
(1) 訂正です。
√((x+1)/(x+3))
全てルートで囲まれた分数の形です。
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57225.微分積分学についてです  
名前:    日付:2018年07月04日(水) 02時24分
(1)√(x+1)/(x+3)の不定積分を求めよ。
(2)x/√(a^2+x^2)の不定積分を求めよ。(a:正定数)

(1)は微積分関数全体をtとおいて置換積分したのでかすが、途中でわからなくなりました。
(2)はきっかけも掴めませんでした。

よろしくお願いします。
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