[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
DS 数学 BBS・2
小中高の範囲は DS 数学 BBS(携帯電話用)へ。
数学以外の話題は赤猫雑談掲示板で。
注意事項, 記号の書き方例をお読みになった上でご利用ください。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | オプション ]
iモード&(絵文字)、au対応!ケータイからも返信できる無料掲示板!
名前
 E-mail 
題名
内容

投稿KEY    タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL
 
掲示板のTOP | 過去ログ集 | 投稿練習 | よく質問される問題 | エッセイblog



57347.Re: 不等式の証明  
名前:it.    日付:2018年07月12日(木) 07時21分
ありがとうございます!
読み解いて, 反対向きもやってみようと思います!
KD182250243233.au-net.ne.jp (182.250.243.233)
Mozilla/5.0 (iPhone; CPU iPhone OS 11_4 like Mac OS X) AppleWebKit/605.1.15 (KHTML, like Gecko) Version/11.0 Mobile/15E148 Safari/604.1

57302.Re: 不等式の証明  
名前:naka    日付:2018年07月10日(火) 00時01分
略解ですが前半の q≧1 の場合を示します。もう一つは不等号が逆になるだけで、同様に示せます。以下、関数は x≧0 で考えることとします。
まず f(x)=(x+a)^q-(x^q+a^q) (a≧0) を考えると

f'(x)=q((x+a)^(q-1)-x^(q-1))

で r≧0 のとき x^r は単調増加なので f'(x)≧0 つまり f(x) は単調増加であることが分かります。よって m についての帰納法により一つ目の不等式

Σ[n=1→m](x_n)^q≦(Σ[n=1→m]x_n)^q

が示せます。

次に g(x)=x^q を考えると

g''(x)=q(q-1)x^(q-2)≧0

より凸関数なので

g(1/mΣ[n=1→m]x_n)≦1/mΣ[n=1→m]g(x_n)

つまり

1/m^q(Σ[n=1→m]x_n)^q≦1/mΣ[n=1→m]x_n^q

が成り立つ。よって両辺を m^q で割れば2つ目の不等式

(Σ[n=1→m]x_n)^q≦m^(q-1)Σ[n=1→m]x_n^q

が得られます。

180-147-163-43f1.kyt1.eonet.ne.jp (180.147.163.43)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.99 Safari/537.36

57219.不等式の証明  
名前:it.    日付:2018年07月03日(火) 09時54分
q>0, x_n≧0(n=1,2, … ,m) に対して

q≧1 のとき
Σ_{n=1~m} (x_n)^q ≦ (Σ_{n=1~m} x_n)^q ≦ m^{q-1}Σ_{n=1~m} (x_n)^q
0<q<1 のとき
Σ_{n=1~m} (x_n)^q ≧ (Σ_{n=1~m} x_n)^q ≧ m^{q-1}Σ_{n=1~m} (x_n)^q

ヒント:
@f(x)=(x+a)^q -(x^q + a^q) (a≧0)の増減
Ag(x)=x^q (x≧0)の凸性

よろしくお願い致します.
KD182250248001.au-net.ne.jp (182.250.248.1)
Mozilla/5.0 (iPhone; CPU iPhone OS 11_4 like Mac OS X) AppleWebKit/605.1.15 (KHTML, like Gecko) Version/11.0 Mobile/15E148 Safari/604.1


「57219.不等式の証明」への返信

無料アクセス解析

アクセス解析の決定版!無料レンタルで最大100ページ解析!

特定の個人への誹謗中傷は無予告削除対象です。
   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb