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57221.Re: ウリゾーンの距離化定理について  
名前:sia    日付:2018年07月03日(火) 13時46分
なるほど。大分わかりました。丁寧にありがとうございました。
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57217.Re: ウリゾーンの距離化定理について  
名前:鳴瀬    日付:2018年07月03日(火) 08時02分
>Oに属する2つの互いに交わらないXの部分集合で2点が分離できるのはわかるのですが
そのような部分集合(開集合です)がベースの元であるとは限りませんよ。しかし、それらはそれぞれの点の(開)近傍なので、それに部分集合として含まれるベースの元で開近傍となっているものをそれぞれ取り直すことができます。これはベースだからです。結果として、
B に属する2つの互いに交わらないXの部分集合で2点が分離できる。
が言えますよ。O の元に対して B の元を「取り直す」という作業に慣れましょう。慣れてくれば「めんどくさい」からという理由で最初からベースの元を用いた議論の簡素化できるようになりますよ。ベースとはそんなものです。
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57216.Re: ウリゾーンの距離化定理について  
名前:sia    日付:2018年07月03日(火) 06時09分
解答ありがとうございます。
どうも、自分の開基についての?理解が甘いようでなかなか理解できません。
正則空間なのは(X, O)なので、あるOに属する2つの互いに交わらないXの部分集合で2点が分離できるのはわかるのですが、そのようなXの部分集合が可算開基Bにも属しているという点は何によって保障されているのでしょうか?
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57213.Re: ウリゾーンの距離化定理について  
名前:鳴瀬    日付:2018年07月03日(火) 03時59分
正規ハウスドルフですか。個人的には正規T1の方が好きです。其れは兎も角、直前の
>,一点集合は閉集合となり(であり)従って (X, O) は正則空間
だからです。
x, y を異なる2点として
x∈V⊂Xー{y}
を満たすようにベース B の元 V を取っておいて、点 x と閉集合 XーV の組に対して正則性条件を満たすようなベース B の元 U を取れば (U, V) は M の元になってますよ。
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57204.ウリゾーンの距離化定理について  
名前:sia    日付:2018年07月02日(月) 19時26分
ウリゾーンの距離化定理についての質問です。
裳華房の集合と位相(内田)の106pの証明で、

 「(X,O)を条件を満たす位相空間とする。第二可算公理から、Oは可算開基Bを持ち、
Bに属する開集合U,Vで、(U)^a⊂Vとなるようなものは可算個なので、このような開集合(U, V)全体の集合をM={(Un, Vn)| n∈N}とする。このような(Un, Vn)∈Mに対して位相空間(X, O)上の実連続関数fnで、fn(X)⊂[0, 1], fn(U^a)=1, fn(V)=0を満たすものが存在する。このfnに対して、距離関数dを次のように定義する。
  d=d(x, y)=Σ[n=1,2,…]|fn(x)-fn(y)|/2^n
|fn(x)-fn(y)|≦1 なので、0≦d≦1である。また、dは明らかに
(1)d(x, y)=d(y,x)
(2)d(x,y)+d(y,z)≧d(x,z)
(3)x=yならばd(x,y)=0
を満たすので、d(x,y)=0ならばx=yであることが示されれば、dはX上の距離関数であるといえる。したがって、この対偶、x≠yならばd(x,y)>0を示す。
いま(X, O)は正規ハウスドルフ空間なので, 一点集合は閉集合となり, したがって(X, O)は正則空間である。ゆえに、x≠yならばある組(Un, Vn)∈Mに対してx∈Un, y∉Vnとなる。」

この最後の「x≠yならばある組(Un, Vn)∈Mに対してx∈Un, y∉Vnとなる。」という部分が釈然としません。Oの交わらない2つの開集合U,Vということならわかりますが、Mからとれるというのは何故なのでしょうか。知恵をお貸し願えれば幸いです。
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