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57250.Re: 写像の連続性  
名前:sphere    日付:2018年07月06日(金) 01時00分
それでいいと思いますよ.
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57238.Re: 写像の連続性  
名前:くるくる    日付:2018年07月05日(木) 00時22分
sphere様、なるせ様、ご回答ありがとうございます。

f_Aが連続であることが示せた上で、同相写像であることを次のように示しました。
論理に不備がないかご検討いただけますでしょうか。

f:同相写像より特にfは全単射で、f_Aも全単射。
そこで、f_Aが開写像であることを示せば良い。
Aの開集合としてU∩Aをとる。ただしUはXの開集合。
f_A(U∩A)=f(U∩A)=f(A)∩f(U)
f(U)はYの開集合なので左辺はf_Aの開集合。
よってf_Aは開写像であるから同相写像といえる。

よろしくお願いいたします。
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57237.Re: 写像の連続性  
名前:sphere    日付:2018年07月04日(水) 20時10分
なるせ様, くるくる様へ,

すいません. なるせ様が何を言っているのか理解しました.

元々の問題は

X,Y:位相空間, f:X→Y:連続 とする。
任意のA⊂Xに対しfA:A→f(A);x→f(x) は連続写像であることを示せ。

ただし, AにはXからの相対位相, f(A)にはYからの相対位相が入っている.

くるくる様の解答だと,
fA=f⚪ιAが書けるのは良いんですが, ιA:A→Xが連続, f:X→Yが連続という条件からだと
「fA=f⚪ιAはAからYへの連続写像でYには元々の位相が入る」
という主張しか言えません.

相対位相の元で連続であることを言う必要がありますね.
すいません. 私の理解が不足していました.

多分次のように解くのだと思います.

f(A)の開集合Uを取ってきた時, f(A)にはYからの相対位相が入っているので
U=f(A)∩V とかける. ただし, VはYの開集合.

(f_A)^{-1}(f(A)∩V)
={x∈A : f_A(x)∈f(A)∩V}
={x∈A : f_A(x)∈V}
={x∈A : f(x)∈V}
=A∩f^{-1}(V)

右辺はAの開集合. (証明終)
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57236.Re: 写像の連続性  
名前:sphere    日付:2018年07月04日(水) 19時22分
なるせ様へ,

「合成 f⚪ιA は A から Y への写像なので厳密には fA ではありません。」

すいません. 私は

fと包含写像ιAを合成して得られる写像とfAは写像として同じもの

だと思っているのですが, 違うんでしょうか?
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57235.Re: 写像の連続性  
名前:なるせ    日付:2018年07月04日(水) 18時24分
老婆心ながら,,,
>ιA:A→X:包含写像 とすると、これは連続である。
は問題ありませんが合成 f⚪ιA は A から Y への写像なので厳密には fA ではありません。次を必要がありますよ。
(*) f⚪ιA の終域を f(A) に制限した写像も連続である。
これは示すべき主張とほとんど同じで,この命題の証明で包含写像 ιA を利用するメリットが感じられません。もっと素直にアプローチすべきでは?
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57211.Re: 写像の連続性  
名前:くるくる    日付:2018年07月03日(火) 01時44分
ご回答ありがとうございます。
前半はうまく証明できているようで、安心いたしました。
ただ、後半部分の同相性を示す部分が理解しきれていません。
もう少し詳しくお教え願えますでしょうか。
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57196.Re: 写像の連続性  
名前:sphere    日付:2018年07月02日(月) 06時02分
くるくる様へ,

ιA:A→X:包含写像 とすると、これは連続である。
このとき、fA=f⚪ιAとかけて、fは連続なのでfAは連続写像の合成となり連続。

この部分はこれで良いかと思います. 後半については, fAの逆写像が
fの逆写像のAへの制限になることをチェックすれば良いかと思います.

これがチェック出来さえすればすれば,
fは同相写像なのでf^{-1}:Y→Xは連続.
よって f^{-1}をf(A)に制限したものも連続.
よって f_Aの逆写像も連続.

という感じですかね.
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57195.Re: 写像の連続性  
名前:くるくる    日付:2018年07月02日(月) 03時23分
早速のご意見ありがとうございます。
自分の解答は以下のようなものです。

ιA:A→X:包含写像 とすると、これは連続である。
このとき、fA=f⚪︎ιAとかけて、fは連続なのでfAは連続写像の合成となり連続。

ただ、同相写像であることを示すことができません。
同相写像の定義自体はわかるのですが、この問題にどのように適用すれば良いかで躓いています。
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57194.Re: 写像の連続性  
名前:sphere    日付:2018年07月02日(月) 03時03分
自分なりの解答があるならそれを掲示板に書いて, 論理に不備がないか確認してもらうのが
良いと思いますよ.
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57193.写像の連続性  
名前:くるくる    日付:2018年07月02日(月) 02時49分
次の問題を自分なりに解いてみましたが、初心者ゆえ自信がないので、模範解答をお教えいただけますでしょうか。

(問題)
X,Y:位相空間, f:X→Y:連続 とする。
任意のA⊂Xに対しfA:A→f(A);x→f(x) は連続写像であることを示せ。
さらに、fが同相写像ならfAも同相写像であることを示せ。
ここでA,f(A)はそれぞれX,Yからの相対位相を入れる。

よろしくお願いいたします。
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