こんにちは.
Anは収束する。ということなので極限をAとおきます. この時,
任意のε>0に対し, ある自然数Nが存在して, n>Nを満たす全ての自然数nについて |An-A|<ε が成り立つ.
以上を認めた上でB_nが0に収束することを証明しましょう.
任意に正の実数εをとって来た時, 上の結果により, ある自然数N'が存在して, n>N'を満たす全ての自然数nについて |An-A|<ε/2 が成り立つ.
よって, n>N'を満たす全ての自然数について |B_n-0| =|B_n| =|A_n+1-A_n| =|(A_n+1-A)-(A_n-A)| ≦|A_n+1-A|+|A_n-A| (三角不等式) <ε/2+ε/2=ε.
で証明が終わります.
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