こんにちは.
Anは収束する。ということなので極限をAとおきます. この時,
任意のε>0に対し, ある自然数Nが存在して,
n>Nを満たす全ての自然数nについて
|An-A|<ε
が成り立つ.
以上を認めた上でB_nが0に収束することを証明しましょう.
任意に正の実数εをとって来た時, 上の結果により,
ある自然数N'が存在して, n>N'を満たす全ての自然数nについて
|An-A|<ε/2
が成り立つ.
よって, n>N'を満たす全ての自然数について
|B_n-0|
=|B_n|
=|A_n+1-A_n|
=|(A_n+1-A)-(A_n-A)|
≦|A_n+1-A|+|A_n-A| (三角不等式)
<ε/2+ε/2=ε.
で証明が終わります.
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