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DS 数学 BBS・2
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57288.Re: (untitled)  
名前:T    日付:2018年07月08日(日) 22時02分
||f−Σ(_i=1)(^n)α(_i)φ(_i)||^2 という量を最小にする問題ですが、
このとき f, φ_i は元から決まっているもので、α_i をいろいろ動かす中で最小値を探すことになります。
なので α_i を変数と見なすのです。

偏微分についてですが、
まず一つの α_k に着目して、他の α_i (i≠k) を固定して考えます。
すると
 ||f||^2−2Σ(_i=1)(^n)α(_i)<f,φ(_i)>+Σ(_i=1)(^n)Σ(_j=1)(^n)α(_i)α(_j)<φ(_i),φ(_j)>

 (定数) + (定数)*α_k + <φ_n, φ_n>(α_k)^2
という形と見なせます。
これは α_k についての(高々) 2 次関数です。
φ_k≠0 なら 2 次の係数が正なので、α_k についての偏微分が 0 になるときに最小値をとります。
φ_k=0 なら α_k を動かしても値が変わらず、α_k についての偏微分は常に 0 になります。
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57171.(untitled)  
名前:Parts    日付:2018年06月30日(土) 18時50分
大学数学、関数空間についての質問です。

キーナー応用数学を読んでいたのですが、

「問題の''厳密解''を探し求めることを放棄する立場を取れば、性質の良い近似解を求める何らかの方法が必要である。このことから、ある関数を実Hilbert空間において近似する最良の方法は何かという疑問が必然的に出てくる。このような疑問に適切に答えることは、データ圧縮アルゴリズム全般の目標である。できる限り少ない量のデータを用いて、しかも情報を失うことなく関数を表現することが、そこでの課題である。

特定の関数列{φ_i}(_i=1)(^n)を用いて、関数fをHilbert空間Hにおいて近似することを考えてみよう。関数fを可能な限りうまく近似するために、{φ_i}(_i=1)(^n)の1次結合がHのノルムに関してfにもっとも近くなるようにする。

すなわち||f−Σ(_i=1)(^n)α(_i)φ(_i)||^2を最小化することを試みる。この量を変形すると

||f−Σ(_i=1)(^n)α(_i)φ(_i)||^2=||f||^2−2Σ(_i=1)(^n)α(_i)<f,φ(_i)>+Σ(_i=1)(^n)Σ(_j=1)(^n)α(_i)α(_j)<φ(_i),φ(_j)>

が得られるが、これをα(_k)に関して偏微分して0と等置すれば、最小値が実現されるための必要条件としてAα=βが得られる。」

と書かれていますが、質問があります。

「α(_k)に関して偏微分して0と等置すれば」とありますが、なぜα_kについて偏微分すると最小値が実現されるための必要条件となるのでしょうか?α_kについての関数には見えず、α_kで偏微分するということも疑問に感じます。

長文の質問をすみません。教えてください。よろしくお願いします。
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