[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
DS 数学 BBS・2
小中高の範囲は DS 数学 BBS(携帯電話用)へ。
数学以外の話題は赤猫雑談掲示板で。
注意事項, 記号の書き方例をお読みになった上でご利用ください。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | オプション ]
iモード&(絵文字)、au対応!ケータイからも返信できる無料掲示板!
名前
 E-mail 
題名
内容

投稿KEY    タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL
 
掲示板のTOP | 過去ログ集 | 投稿練習 | よく質問される問題 | エッセイblog



56966.Re: 直積直和  
名前:パイン    日付:2018年06月16日(土) 20時32分
(すみません、下の送信は無視して下さい)

通りすがり様

どうもありがとうございます。
理解する事が出来ました。

>(x_1,x_2,x_3,...) = (x_1, 0, ...) + (0, x_2, 0, ...) + (0, 0, x_3, 0, ...) + …
>と「無限和」に分解できると考えるのは誤りです.

ここのところが、今まで分解出来ると考えていました。


何度も回答して下さり本当にありがとうございました。

42-145-231-117.rev.home.ne.jp (42.145.231.117)
Mozilla/5.0 (iPad; CPU OS 11_2_5 like Mac OS X) AppleWebKit/604.5.6 (KHTML, like Gecko) Version/11.0 Mobile/15D60 Safari/604.1

56965.Re: 直積直和  
名前:パイン    日付:2018年06月16日(土) 20時29分
加群の直積、直和について教えてください

直積の記号を∩、直和記号を+
で表しています

A加群の族{M_i}i∈I
直積
∩M_i={(x_λ)λ∈I |x_i∈M_i}

直和
∩M_iの部分集合で
+M_i={(x_λ)λ∈I |x_i∈M_i ほとんど全てのiに対してx_i=0}

質問]
直和の定義でほとんど全てのiに対してx_i=0
というのはなんのためにあるのでしょうか?
よろしくおねがいします。

(参考書には定義した後、直積、直和の普遍性が書いてあり、その辺の事もいろいろ調べました。初めて圏論という分野もネットですが調べたりしましたが、分かりませんでした。)




通りすがり様、ありがとうございます。


> (x_i |i )「有限個の i を除き x_i = 0」を満たすものとなります.

例えばですが
i∈N
として、有限個として3個(i=1,i=3,i=6)で考えますと、

(x_1 , 0 , x_3 , 0 , 0 , x_6 , 0 ・・・・・・・) ☆
これが直和ってことであってますか?

意味ないことかもしれませんが、☆のM1の元のx_1を0にしてもいいですか?
その場合、最初っから、有限個として2個(i=3,i=6)で考えることと同じになりますか?
> (x_1 , 0 , x_3 , 0 , 0 , x_6 , 0 ・・・・・・・) ☆
これが直和ってことであってますか?

これが直和ではなく,☆の様な元を集めて出来る集合(と直積から導かれる演算と作用により定義される加群)が直和です.

☆は確かに直和に属します.

> ☆のM1の元のx_1を0にしてもいいですか?
その場合、最初っから、有限個として2個(i=3,i=6)で考えることと同じになりますか?

全く問題ありません.何か勘違いされている様な気がしますが,そもそも「考え方が違う」=「数学的に本質的に異なる」ではありません.

Π_i M_i の 2 つの元 (x_i | i ), (y_i | i) について,

 (x_i | i ) = (y_i | i ) <=> 任意の i に対し x_i = y_i

ですから,これに従って等しいかどうか判断するだけです.


因みに,(x_1, 0, x_3, 0, 0, x_6, 0, ...)



(x_1, 0, ...) + (0, 0, x_3, 0, ...) + (0, 0, 0, 0, 0, x_6, 0, ...)

と分解できます.先の私のコメントの (*) による同一視により,通常,この和を

x_1 + x_3 + x_6

と書きます.x_1 = 0 の場合,(x_1, 0, ...) は直積の 0 元ですから,2 個の i 以外 0 と思うのか,3 個以外を 0 と思うのかは,単に

x_3 + x_6

と書くのか,

0 + x_3 + x_6

と書くのかの違いだけで,本質的に違いはありません.


通りすがり様
どうもありがとうございます。
何度も質問すみません。

質問
A加群M_1の元が{0,a_1,b_1,c_1,・・・・・}
A加群M_2の元が{0,a_2,b_2,c_2,・・・・・}
それ以外のA加群M_iの元が{0}
だとした場合
0+0=0
a_1+0=a1
a_1+a_2
a_1+b_2


(M_1の元)+(M_2の元)



これら全てを集めたものが直和であってますか?


質問
A加群M_1、A加群M_2、・・・・・
がそれぞれ0以外の元をもっているとした場合
M_i∋x_i≠0
x_1+x_2+・・・・
これが直和に族していないというのは「有限個の i を除き x_i = 0」を満たさないことから分かるのですが、無限個の和だと何故ダメなのですか?




パインさん

一つ目のご質問について: そうです.勿論,先の私の同一視の下ですが.

二つ目のご質問について: そもそも無限和自体をどう定義するのですか?例えば,適当な体上の線形空間 V について,V の元の「無限和」を一体どう定義するのですか?

尚,老婆心ながら,注意しておきますが,

(x_1,x_2,x_3,...) = (x_1, 0, ...) + (0, x_2, 0, ...) + (0, 0, x_3, 0, ...) + …

と「無限和」に分解できると考えるのは誤りです.形式的にこのように「思う」のは,その人の自由ですが,それは数学的に厳密に正しいことを意味しません.この等式を数学的にきちんと正当化するには,まず右辺の「無限和」の定義を行い,かつ,本当にこの等式が成立することを示さねばならないです.

具体的な例を挙げると分かり易いかもしれません.以下,N を正の整数全体のなす集合,R を実数体とします.R は通常の加法,スカラ倍により,R-線形空間(R-加群)であることに注意して下さい.

 I = N,M_i = R (任意の i)

とおくと,M_i 達の直和は,

 (1, 0, 0, ...), (0, 1, 0, ...), (0, 0, 1, 0, ...), ...  (*)

を基底とする Π_i M_i の R-部分空間となります.通常の有限個の R の直和の自然な一般化になっていることが,このことからも分かると思います.

この様に,直和では,M_i 達を「直交」する(M_i ∩ M_j = {0})様に「配置」し,これらによって貼られる空間を構成しようとしているのです.

例えば,直積の元 (1, 1, 1, 1, ...) は(*)で生成することができませんので,この空間の元からは除外されることになります.
p288107-ipngn200707fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (124.102.222.107)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64; rv:60.0) Gecko/20100101 Firefox/60.0



通りすがり様

どうもありがとうございます。
理解する事が出来ました。

>(x_1,x_2,x_3,...) = (x_1, 0, ...) + (0, x_2, 0, ...) + (0, 0, x_3, 0, ...) + …
>と「無限和」に分解できると考えるのは誤りです.

ここのところが、今まで分解出来ると考えていました。


何度も回答して下さり本当にありがとうございました。

42-145-231-117.rev.home.ne.jp (42.145.231.117)
Mozilla/5.0 (iPad; CPU OS 11_2_5 like Mac OS X) AppleWebKit/604.5.6 (KHTML, like Gecko) Version/11.0 Mobile/15D60 Safari/604.1

56961.Re: 直積直和  
名前:通りすがり    日付:2018年06月16日(土) 17時47分
パインさん

一つ目のご質問について: そうです.勿論,先の私の同一視の下ですが.

二つ目のご質問について: そもそも無限和自体をどう定義するのですか?例えば,適当な体上の線形空間 V について,V の元の「無限和」を一体どう定義するのですか?

尚,老婆心ながら,注意しておきますが,

(x_1,x_2,x_3,...) = (x_1, 0, ...) + (0, x_2, 0, ...) + (0, 0, x_3, 0, ...) + …

と「無限和」に分解できると考えるのは誤りです.形式的にこのように「思う」のは,その人の自由ですが,それは数学的に厳密に正しいことを意味しません.この等式を数学的にきちんと正当化するには,まず右辺の「無限和」の定義を行い,かつ,本当にこの等式が成立することを示さねばならないです.

具体的な例を挙げると分かり易いかもしれません.以下,N を正の整数全体のなす集合,R を実数体とします.R は通常の加法,スカラ倍により,R-線形空間(R-加群)であることに注意して下さい.

 I = N,M_i = R (任意の i)

とおくと,M_i 達の直和は,

 (1, 0, 0, ...), (0, 1, 0, ...), (0, 0, 1, 0, ...), ...  (*)

を基底とする Π_i M_i の R-部分空間となります.通常の有限個の R の直和の自然な一般化になっていることが,このことからも分かると思います.

この様に,直和では,M_i 達を「直交」する(M_i ∩ M_j = {0})様に「配置」し,これらによって貼られる空間を構成しようとしているのです.

例えば,直積の元 (1, 1, 1, 1, ...) は(*)で生成することができませんので,この空間の元からは除外されることになります.
p288107-ipngn200707fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (124.102.222.107)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64; rv:60.0) Gecko/20100101 Firefox/60.0

56948.Re: 直積直和  
名前:パイン    日付:2018年06月16日(土) 03時36分
通りすがり様
どうもありがとうございます。
何度も質問すみません。

質問
A加群M_1の元が{0,a_1,b_1,c_1,・・・・・}
A加群M_2の元が{0,a_2,b_2,c_2,・・・・・}
それ以外のA加群M_iの元が{0}
だとした場合
0+0=0
a_1+0=a1
a_1+a_2
a_1+b_2


(M_1の元)+(M_2の元)



これら全てを集めたものが直和であってますか?


質問
A加群M_1、A加群M_2、・・・・・
がそれぞれ0以外の元をもっているとした場合
M_i∋x_i≠0
x_1+x_2+・・・・
これが直和に族していないというのは「有限個の i を除き x_i = 0」を満たさないことから分かるのですが、無限個の和だと何故ダメなのですか?

42-145-231-117.rev.home.ne.jp (42.145.231.117)
Mozilla/5.0 (iPad; CPU OS 11_2_5 like Mac OS X) AppleWebKit/604.5.6 (KHTML, like Gecko) Version/11.0 Mobile/15D60 Safari/604.1

56946.Re: 直積直和  
名前:通りすがり    日付:2018年06月16日(土) 00時20分
パイン様

> (x_1 , 0 , x_3 , 0 , 0 , x_6 , 0 ・・・・・・・) ☆
これが直和ってことであってますか?

これが直和ではなく,☆の様な元を集めて出来る集合(と直積から導かれる演算と作用により定義される加群)が直和です.

☆は確かに直和に属します.

> ☆のM1の元のx_1を0にしてもいいですか?
その場合、最初っから、有限個として2個(i=3,i=6)で考えることと同じになりますか?

全く問題ありません.何か勘違いされている様な気がしますが,そもそも「考え方が違う」=「数学的に本質的に異なる」ではありません.

Π_i M_i の 2 つの元 (x_i | i ), (y_i | i) について,

 (x_i | i ) = (y_i | i ) <=> 任意の i に対し x_i = y_i

ですから,これに従って等しいかどうか判断するだけです.


因みに,(x_1, 0, x_3, 0, 0, x_6, 0, ...)



(x_1, 0, ...) + (0, 0, x_3, 0, ...) + (0, 0, 0, 0, 0, x_6, 0, ...)

と分解できます.先の私のコメントの (*) による同一視により,通常,この和を

x_1 + x_3 + x_6

と書きます.x_1 = 0 の場合,(x_1, 0, ...) は直積の 0 元ですから,2 個の i 以外 0 と思うのか,3 個以外を 0 と思うのかは,単に

x_3 + x_6

と書くのか,

0 + x_3 + x_6

と書くのかの違いだけで,本質的に違いはありません.
p288107-ipngn200707fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (124.102.222.107)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64; rv:60.0) Gecko/20100101 Firefox/60.0

56933.Re: 直積直和  
名前:パイン    日付:2018年06月15日(金) 10時58分
通りすがり様、どうもありがとうございます。


> (x_i |i )「有限個の i を除き x_i = 0」を満たすものとなります.

例えばですが
i∈N
として、有限個として3個(i=1,i=3,i=6)で考えますと、

(x_1 , 0 , x_3 , 0 , 0 , x_6 , 0 ・・・・・・・) ☆
これが直和ってことであってますか?

意味ないことかもしれませんが、☆のM1の元のx_1を0にしてもいいですか?
その場合、最初っから、有限個として2個(i=3,i=6)で考えることと同じになりますか?

42-145-231-117.rev.home.ne.jp (42.145.231.117)
Mozilla/5.0 (iPad; CPU OS 11_2_5 like Mac OS X) AppleWebKit/604.5.6 (KHTML, like Gecko) Version/11.0 Mobile/15D60 Safari/604.1

56927.Re: 直積直和  
名前:通りすがり    日付:2018年06月15日(金) 02時32分
この種のご質問は人の考え方で異なると思いますので,以下の発言はあくまで私見として捉えて頂ければと存じます.

以下,共通部分を表す記号との混乱を避ける為に,直積を表す記号は Π を用います.

直和のニュアンスは

「異なる I の元 i,j に対し,M_i ∩ M_j = {0} と空想的に考えた場合の,M_i 達の元の線形和全体のなす集合」

です(「空想的」というのは,集合の直和のときのものと同じです).これを数学的にきちんと実現する為に,M_i, M_j の元の間の加法は定義されていませんので,まずは,M_i 達を含む大きな加群として,まずは直積 Π_i M_iを考える訳です.但し,各 M_i 達は

 x_i -> (0, ... , 0, x_i, 0, ... , 0)    (*)

により,Π_i M_i の部分加群とみなします(こうすると,M_i ∩ M_j = {0} も実現されていることになります).

この中で「M_i の元達の線形結合を集めたもの」が直和です.Π_i M_i では,M_i の各元は(*)の右側の形の元に対応しておりますので,結局,M_i の元達の線形和は,ご質問中の定義にある通り,

 (x_i |i )

で「有限個の i を除き x_i = 0」を満たすものとなります.これが「ほとんど全ての…」という条件がついている理由です.

直和,直積の違いは,圏論的性質を理解することでより明確になるのですが,この理解を得るには,まずは加群論に慣れ親しんでおく必要があると思います.

まずは,上述のようなイメージで直和・直積に慣れて置いて,加群論になれた後に,ホモロジー代数・圏論を勉強されると,かなり理解が深まると思います.

ついでなので,圏論的な話をすこししておきます.圏論的には,直和と直積はお互いに「双対的」な関係(直積の普遍性を記述する図式の矢印を反対にしたものが,直和の普遍性を表す図式)になっており,「核」と「余核」と同様の関係にあります.これらの裏には「極限」,「余極限」という概念が隠れていて,この 2 つの極限を用いれば,核も余核も,直和も直積も統一的な視点で眺めることができます.
p288107-ipngn200707fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (124.102.222.107)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64; rv:60.0) Gecko/20100101 Firefox/60.0

56922.直積直和  
名前:パイン    日付:2018年06月14日(木) 20時08分
加群の直積、直和について教えてください

直積の記号を∩、直和記号を+
で表しています

A加群の族{M_i}i∈I
直積
∩M_i={(x_λ)λ∈I |x_i∈M_i}

直和
∩M_iの部分集合で
+M_i={(x_λ)λ∈I |x_i∈M_i ほとんど全てのiに対してx_i=0}

質問]
直和の定義でほとんど全てのiに対してx_i=0
というのはなんのためにあるのでしょうか?
よろしくおねがいします。

(参考書には定義した後、直積、直和の普遍性が書いてあり、その辺の事もいろいろ調べました。初めて圏論という分野もネットですが調べたりしましたが、分かりませんでした。)

42-145-231-117.rev.home.ne.jp (42.145.231.117)
Mozilla/5.0 (iPad; CPU OS 11_2_5 like Mac OS X) AppleWebKit/604.5.6 (KHTML, like Gecko) Version/11.0 Mobile/15D60 Safari/604.1


「56922.直積直和」への返信

無料アクセス解析

アクセス解析の決定版!無料レンタルで最大100ページ解析!

特定の個人への誹謗中傷は無予告削除対象です。
   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb