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DS 数学 BBS・2
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56928.Re: 極限の問題です  
名前:X    日付:2018年06月15日(金) 06時50分
別解)
lim[x→+0]log{x^(e^x-1)}=lim[x→+0](e^x-1)logx
=lim[x→+0]logx/{1/(e^x-1)}
=lim[x→+0](1/x)/{-(e^x)/(e^x-1)^2} (∵)ロピタルの定理
=lim[x→+0]{-x/(e^x)}{(e^x-1)/x}^2
=0 (∵)lim[x→+0](e^x-1)/xはe^xのx=0における微分係数
∴(与式)=1
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56925.Re: 極限の問題です  
名前:IT    日付:2018年06月15日(金) 00時27分
lim [x→0+0] x^(e^x-1)=1 です。

0<x<1 で
 1<e^x<1+(e-1)x なので #自明というわけではないので証明がいるかも。
 x^(1+(e-1)x)<x^(e^x)<x^1
xで割って
 x^((e-1)x)<x^((e^x)-1)<1
 
x^((e-1)x) → 1 (x→+0)を示せばよい。 

x^((e-1)x)=(x^x)^(e-1) なので、x^x →1 (x→+0)を示せばよい。

t=1/x とおくと x→+0のとき t→+∞なので
 xlogx=-(logt)/t→0 (x→+0) 自明というわけではないので未出なら証明がいるかも。
よってx^x=e^(xlogx)→e^0=1 (x→+0)

したがって、lim [x→0+0] x^(e^x-1)=1
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56921.極限の問題です  
名前:    日付:2018年06月14日(木) 12時06分
lim [x→0+0] x^(e^x-1)

計算過程もお願いします。
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