[ ホームページ ] [ 携帯用URL ]
DS 数学 BBS・2
小中高の範囲は DS 数学 BBS(携帯電話用)へ。
数学以外の話題は赤猫雑談掲示板で。
注意事項, 記号の書き方例をお読みになった上でご利用ください。

[ EZBBS.NET | 新規作成 | ランキング | オプション ]
iモード&(絵文字)、au対応!ケータイからも返信できる無料掲示板!
名前
 E-mail 
題名
内容

投稿KEY    タグ有効 改行有効 等幅フォント
URL
 
掲示板のTOP | 過去ログ集 | 投稿練習 | よく質問される問題 | エッセイblog



56988.Re: 常微分方程式  
名前:57    日付:2018年06月18日(月) 17時34分
ありがとうございます。
定常状態を考えていたのですね。
理解することができました。

ありがとうございました!
zaqb4dde177.zaq.ne.jp (180.221.225.119)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/66.0.3359.181 Safari/537.36

56984.Re: 常微分方程式  
名前:X    日付:2018年06月18日(月) 05時47分
まずv[2]ですが
>>v2=Cexp(jwt)+Dexp(-jwt)
とはなりません。

No.56981において、rの値を適当に定めることで
pの値の一つが
p=jω (A)
となるとしましたよね?
ということはもう一つのpの値は実部が相殺できない
形になります。
ここで
p=(-GL-RC±√((GL-RC)^2+4LCr^2))/(2LC) (B)
により、(A)の形になるための相殺される実部のうち、
(B)の√の外に元から出ている値は
(-GL-RC)/(2LC)
∴もう一つのpの値は
p=(-GL-RC)/(LC)-jω
∴v[2]=Cexp(jwt)+Dexp(-(GL+RC)t/(LC)-jωt) (C)

ご質問の微分方程式の係数を見る限り、これは分布定数回路の
計算問題でしょうか?
でしたら,G,L,R,Cは全て正ですので
(GL+RC)/(LC)>0
∴定常状態(つまりtが十分大きいとき)という条件付きであれば
(C)の第二項は消えて
v[2]=Cexp(jwt)
となります。
softbank126161174048.bbtec.net (126.161.174.48)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.87 Safari/537.36

56982.Re: 常微分方程式  
名前:57    日付:2018年06月17日(日) 23時52分
そうなるようなrを考えることで
pが純虚数になることは理解できました。

もう一つ疑問が出てきたのですが
v1=Aexp(-r(jw)x)+Bexp(r(jw)x)
v2=Cexp(jwt)+Dexp(-jwt)
なので
v(x,t)=v1*v2
=Eexp(jwt-r(jw)x)+Fexp(-jwt-r(jw)x)+Gexp(jwt+r(jw)x)+Hexp(-jwt+r(jw)x)
となるはずなのに最終的な解は
v(x,t)=K1exp(jwt-rx)+K2exp(jwt+rx)
r(jw)=root((jwL+R)(jwC+G))
となっています。

ここの式変形は何が行われているのでしょうか?
zaqb4dde177.zaq.ne.jp (180.221.225.119)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/66.0.3359.181 Safari/537.36

56981.Re: 常微分方程式  
名前:X    日付:2018年06月17日(日) 22時22分
>>rは複素数であることを前提にしていますので
が説明不足でした。
これはrが「純虚数でない」複素数である場合を考えています。

このとき
(GL-RC)^2+4LCr^2
は実数ではなくて「純虚数でない」複素数になり得ますので
これの√の実部が
-GL-RC
と相殺するように取られていればpは純虚数になり得る
ということです。
softbank126161174048.bbtec.net (126.161.174.48)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.87 Safari/537.36

56970.Re: 常微分方程式  
名前:57    日付:2018年06月17日(日) 02時24分
>>只、この問題の場合の特性方程式では
>>rは複素数であることを前提にしていますので
>>dv[2]/dtの係数であるGL+RCが0でなくても
>>pは純虚数になり得ます

というのはなぜでしょうか?
p=(-GL-RC±root((GL-RC)^2+4LCr^2))/2LC
になると思います。
(GL-RC)^2+4LCr^2<0は認めるとしても
(-GL-RC)/2LC=0になる理由がよくわかりません。
zaqb4dde177.zaq.ne.jp (180.221.225.119)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/66.0.3359.181 Safari/537.36

56952.Re: 常微分方程式  
名前:X    日付:2018年06月16日(土) 12時26分
>>勝手にpをパラメータとしてと考えて良いのか
この解説では、ご質問の特性方程式を
rからpへのパラメータ変換のための変換式
として使い、更に
p=jw
という式でwにパラメータ変換をしています。
但し
>>-∞<w<∞
とあるようにwは実数ですので
pは純虚数であることを前提にしています。

>>3パターン考えることでこの教科書と一致した答えを出すことができるのか
ごめんなさい。説明不足でした。
物理の教科書で見ていただきたかったのは
単振動の項目の中の、強制振動についての
微分方程式
(つまり、dv[2]/dtの係数が0にならない場合)
についてのものでした。
ご存知の通り
>>3パターン
とは特性方程式の解が
1)異なる二つの実数
2)実数の重解
3)異なる二つの複素数
となる、3つの場合を指しています。

この問題ではこの内の3)の更に特別な場合に
該当します。
只、この問題の場合の特性方程式では
rは複素数であることを前提にしていますので
dv[2]/dtの係数であるGL+RCが0でなくても
pは純虚数になり得ます。
softbank126161143137.bbtec.net (126.161.143.137)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.87 Safari/537.36

56947.Re: 常微分方程式  
名前:57    日付:2018年06月16日(土) 00時50分
返信ありがとうございます。

ネットなどで調べてみるとR=G=0として解いている場合しか見つかりませんでした。


そうではなくてこのまま解きたいです。

ある教科書に載っていたのは、

もともとの偏微分方程式が
d^2v/dx^2=LC(d^2v/dt^2)+(GL+RC)dv-dt+RGv
vはxとtの関数
v(x,t)=v1(x)*v2(t)とおくことで

...
r^2を分離定数とする。
v1(x)については解けたので
v2(t)について
LC(d^2v/dt^2)+(GL+RC)dv/dt+(GR-r^2)v=0
の特性方程式の根をp1,p2とすると、
p1,p2はrの関数となる。
そうすると、一般解はrをパラメータとした基本解となっているが、
pをパラメータと考えると特性方程式より
r1,r2=±root((Lp+R)(Cp+G))≔r(p)
ここで
p=jwとしてrに代入すると
r(jw)=root((jwL+R)(jwC+G))
このようにwをパラメータとして考え、
wを-∞<w<∞と考えてtに関する基本解を一つにまとめると

v(x,t)=K1exp(jwt-rx)+K2exp(jwt+rx)
r(jw)=root((jwL+R)(jwC+G))

これが最終的な解となっています。

疑問に思ったことは、
・勝手にpをパラメータとしてと考えて良いのか
・3パターン考えることでこの教科書と一致した答えを出すことができるのか
です。
zaqb4dde177.zaq.ne.jp (180.221.225.119)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/66.0.3359.181 Safari/537.36

56940.Re: 常微分方程式  
名前:X    日付:2018年06月15日(金) 21時10分
二階線型微分方程式、特性方程式
のキーワードをネットで検索するか、教科書などで
調べてみて下さい。
(物理の教科書で、単振動の微分方程式辺りを
調べてみるといいかもしれません。)

ちなみにrの値に条件がないのであれば、
rの値の範囲によって解の形が3通りに
場合分けされます。
softbank126161143137.bbtec.net (126.161.143.137)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.87 Safari/537.36

56906.常微分方程式  
名前:57    日付:2018年06月13日(水) 13時07分
偏微分方程式をr^2で変数分離してからの
常微分方程式の同次式が解けません。
vはtの関数です。

LC(d^2v/dt^2)+(GL+RC)dv/dt+(GR-r^2)v=0

よろしくお願いします。
sp49-106-204-100.msf.spmode.ne.jp (49.106.204.100)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.0; SC-02H Build/NRD90M) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.81 Mobile Safari/537.36


「56906.常微分方程式」への返信

無料アクセス解析

アクセス解析の決定版!無料レンタルで最大100ページ解析!

特定の個人への誹謗中傷は無予告削除対象です。
   投稿KEY
   パスワード

EZBBS.NET produced by InsideWeb