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56932.Re: 整数環  
名前:    日付:2018年06月15日(金) 10時27分
ありがとう御座いました。
https://drive.google.com/file/d/18gp-ZNSAAoT6iOAzKsigebW1R9d1_J5h/view?usp=drivesdk
fp7cdb8af8.gnma102.ap.nuro.jp (124.219.138.248)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.1.1; F-03H Build/V12R048F) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.87 Mobile Safari/537.36

56931.Re: 整数環  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月15日(金) 09時15分
有難う御座います.そうなると,質問者様の理解に問題はないかと思います.
KD182250245003.au-net.ne.jp (182.250.245.3)
Mozilla/5.0 (iPhone; CPU iPhone OS 10_3_3 like Mac OS X) AppleWebKit/603.3.8 (KHTML, like Gecko) Version/10.0 Mobile/14G60 Safari/602.1

56926.Re: 整数環  
名前:    日付:2018年06月14日(木) 23時55分
済みません、前回のURLです。
https://drive.google.com/file/d/18gp-ZNSAAoT6iOAzKsigebW1R9d1_J5h/view?usp=drivesdk
fp7cdb8af8.gnma102.ap.nuro.jp (124.219.138.248)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.1.1; F-03H Build/V12R048F) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.87 Mobile Safari/537.36

56923.Re: 整数環  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月14日(木) 22時17分
>定義のSR3より
どの様な定義でしょうか?

>2^{1/3}=0+1・2^{1/3}∈{a+b・2^{1/3}|a,b∈Z}ならば
>4^{1/3}=2^{1/3}・2^{1/3}∈{a+b・2^{1/3}|a,b∈Z}ということで4^{1/3}も
>{a+b・2^{1/3}|a,b∈Z}の要素だからa+b・2^{1/3}で表せるはずだか出来ないので矛盾しているという解釈でよろしいでしょうか?
この部分は仰る通りです.
KD182250245009.au-net.ne.jp (182.250.245.9)
Mozilla/5.0 (iPhone; CPU iPhone OS 10_3_3 like Mac OS X) AppleWebKit/603.3.8 (KHTML, like Gecko) Version/10.0 Mobile/14G60 Safari/602.1

56920.Re: 整数環  
名前:    日付:2018年06月14日(木) 10時59分
定義のSR3より2^{1/3}=0+1・2^{1/3}∈{a+b・2^{1/3}|a,b∈Z}ならば
4^{1/3}=2^{1/3}・2^{1/3}∈{a+b・2^{1/3}|a,b∈Z}ということで4^{1/3}も
{a+b・2^{1/3}|a,b∈Z}の要素だからa+b・2^{1/3}で表せるはずだか出来ないので矛盾しているという解釈でよろしいでしょうか?
よろしくお願いします。

https://drive.google.com/file/d/18gp-ZNSAAoT6iOAzKsigebW1R9d1_J5h/view?usp=drivesdk
fp7cdb8af8.gnma102.ap.nuro.jp (124.219.138.248)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.1.1; F-03H Build/V12R048F) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.87 Mobile Safari/537.36

56919.Re: 整数環  
名前:    日付:2018年06月14日(木) 10時28分
s・2^{1/3}+t・4^{1/3}+u=0,…A
s・4^{1/3}+t+u・2^{1/3}=0…B
AのuとBのtの係数が1なのは何故ですか?
よろしくお願いします。

https://drive.google.com/file/d/1SbdNRosMbjd0xPpgUEeTyXA82EFkiAsp/view?usp=drivesdk
fp7cdb8af8.gnma102.ap.nuro.jp (124.219.138.248)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.1.1; F-03H Build/V12R048F) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.87 Mobile Safari/537.36

56913.Re: 整数環  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月13日(水) 23時48分
お手持ちの参考書の記載の通りです.もしRの部分集合{a+b・2^{1/3}|a,b∈Z}がRの部分環であるとすれば,

2^{1/3}=0+1・2^{1/3}∈{a+b・2^{1/3}|a,b∈Z}

であるため,

4^{1/3}=2^{1/3}・2^{1/3}∈{a+b・2^{1/3}|a,b∈Z}

が成立します.一方で,

「任意の整数s,t,uに対して,s+t・2^{1/3}+u・4^{1/3}=0であるならばs=t=u=0である」

であることに注意すると,4^{1/3}=a'+b'・2^{1/3}を満たす整数a',b'は存在しません.すなわち,

4^{1/3}∈{a+b・2^{1/3}|a,b∈Z}

が成立しないということになり,矛盾が生じます.よって,Rの部分集合{a+b・2^{1/3}|a,b∈Z}はRの部分環を成しません.
_______________________________

[追記]
以下は,上記の説明にある「…」の部分の証明です.ご参考ください.


s,t,uを任意の正数とする.s+t・2^{1/3}+u・4^{1/3}=0(…@)が成り立つと仮定する.この時,この等式の両辺に2^{1/3},4^{1/3}をかけることで

s・2^{1/3}+t・4^{1/3}+u=0,…A
s・4^{1/3}+t+u・2^{1/3}=0…B

が導出される.ここで,行列

[[1,2^{1/3},4^{1/3}],[4^{1/3},1,2^{1/3}],[2^{1/3},4^{1/3},1]]

をMとおく.@,A,Bを連立して考えると,ベクトルの式

Mt^(s,t,u)=t^(0,0,0).…C

が得られる.ここで,'t^'の記号はベクトルや行列の転置の意を表すものである.ところで,3次の巡回行列の行列式を用いれば,

det(M)
=1^3+(2^{1/3})^3+(4^{1/3})^3-3・1・2^{1/3}・4^{1/3}
≠0

であるから,行列Mは正則である.この時,Cの両辺にM^{-1}を左からかけると

t^(s,t,u)=t^(0,0,0).
∴s=t=u=0.

# 巡回行列式をご存じでなければ,一度お調べください.
softbank126063174172.bbtec.net (126.63.174.172)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/66.0.3359.181 Safari/537.36

56883.整数環  
名前:    日付:2018年06月12日(火) 11時19分
老婆心から注意しておくが、の後に示されている集合がRの部分環とならない理由がよく分かりません。他に言い回しがあればご教授よろしくお願いします。
https://drive.google.com/file/d/1lSoMwYID2fy37TOGNcFCpvTjDWsrHOGN/view?usp=drivesdk
fp7cdb8af8.gnma102.ap.nuro.jp (124.219.138.248)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.1.1; F-03H Build/V12R048F) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.81 Mobile Safari/537.36


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