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56797.画像の2次元フーリエ変換と線形変換の順序交換  
名前:カッティ    日付:2018年06月07日(木) 19時40分
画像の線形変換→2次元フーリエ変換

2次元フーリエ変換→フーリエ画像の線形変換
は順序を交換できますでしょうか。

ご教授のほど、よろしくお願いいたします。

===================================
行列式をD1=det([a,b],[c,d]),D2=([e,f],[g,h])とする。

【線形変換した後にフーリエ変換した場合】
([x],[y])=([a,b],[c,d])([x'],[y'])で線形変換した時、逆変換は
([x'],[y'])=([d/D1,-b/D1],[-c/D1,a/D1])([x],[y])
([x'],[y'])を([x],[y])に写したとき値fは
f(x',y')=f((dx-by)/D1,(-cx+ay)/D1)である。
F(ox,oy)=∬f((dx-by)/D1,(-cx+ay)/D1)exp(-i<(ox,oy),(x,y)>dxdy

【フーリエ変換後に線形変換させた場合】
([ox],[oy])=([e,f],[g,h])([ox'],[oy'])で線形変換した時、逆変換は
([ox'],[oy'])=([h/D2,-f/D2],[-g/D2,e/D2])([ox],[oy])
([ox'],[oy'])を([ox],[oy])に写したとき値Fは
F(ox',oy')=F((h・ox-f・oy)/D2,(-g・ox+e・oy)/D2)である。
F(ox,oy)=∬f(x,y)・exp(-i<((h・ox-f・oy)/D2,(-g・ox+e・oy)/D2),(x,y)>dxdy
=∬f(x,y)・exp(-i<((h・ox-f・oy)/D2,(-g・ox+e・oy)/D2),(x,y)>dxdy
=∬f(x,y)・exp(-i<(ox,oy),(hx-gy)/D2,(-fx+ey)/D2>dxdy

z=(hx-gy)/D2
w=(-fx+ey)/D2
と置き、逆に解くと
x=(ez+gw)D2
y=(fz+hw)D2
dxdy=(D2^3)dzdw
以上により、

=∬f((ez+gw)D2,(fz+hw)D2)・exp(-i<(ox,oy),z,w>(D2^3)dzdw

ここで、z→x,w→y,e・D2→d/D1,f・D2→-c/D1,h・D2→a/D1であったなら、

=∬f((dx-by)/D1,(-cx+ay)/D1)・exp(-i<(ox,oy),x,y>dzdw

結局([e,f],[g,h])=([d,-c],[-b,a])/(D1・D2)であるから
([e,f],[g,h])=([d,-c],[-b,a])/(D1^(2/3)である。
===================================

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