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56780.Re: 行列について  
名前:naka    日付:2018年06月05日(火) 10時13分
途中で
exp(2πiM)=C
となる行列 M が2種類存在するとその固有値の差が整数であるという主張がありますから存在すれば一意性は従います。

存在を言うには前の M の存在証明の際に取っていた L のところで L の固有値が実部が [0,1) に入るように取れることを言えばよく、それは少し考えればできると思います。
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56768.Re: 行列について  
名前:a    日付:2018年06月04日(月) 20時41分
返信ありがとうございます!
そしてなのですが「全ての固有値の実部が[0,1)に属するような行列Mが一意に存在する。」の証明はどのようになるのでしょうか…どこから0と1が出てくるのか、そして一意というのがわかりません…
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56731.Re: 行列について  
名前:naka    日付:2018年06月02日(土) 18時44分
>D と T が可換であることから L と K が可換であることも分かり、

この部分は間違いでした。正確には D と T が可換であることから L と K が可換になるように L が取れることが分かります。
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56730.Re: 行列について  
名前:naka    日付:2018年06月02日(土) 18時39分
存在の部分が難しいと思うので私の考え方だけ述べておきます。

まず exp(M)=C のとき P^{-1}CP=exp(P^{-1}MP) となるので C がジョルダン標準形の場合を考えます。Cは可逆なので対角行列 D と対角成分が1の上三角行列 T で DT=TD が成り立つものを使って C=DT という形で表せます。
D に対して exp(L)=D となる対角行列 L が存在することは簡単に分かると思います。
T に対して N=T-I とおくと N は冪零行列で N^r=0 となる自然数 r が取れます。このとき
K=N-(1/2)N+(1/3)N^2-(1/4)N^3+・・・+(-1)^{r-2}N^{r-1}
とおくと exp(K)=T となることが分かります。
よってこの L と K を用いて M=(L+K)/(2πi) とおけば D と T が可換であることから L と K が可換であることも分かり、
exp(2πiM)=exp(L)exp(K)=DT=C
となります。
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56723.Re: 行列について  
名前:のぼりん    日付:2018年06月02日(土) 08時36分
恐縮ながら、原問題の英文を誤解なさっているようです。貴訳文を活かして調整してみました。

任意の可逆な行列Cに対し、exp〔2πiM〕=Cを満たす様な行列Mが複数個存在する。Cがある形の三角ブロック行列であれば、Mも同様である。この様な任意の2つのMの固有値は整数だけ異なり、また、全ての固有値の実部が半開区間〔0,1〕に属するような行列Mが一意に存在する。

この訳文をもとにもう一度考えれば、解決できるのではないかと期待します。

なお、「ある形の三角ブロック行列」(triangularly blocked of some type)とは、〔〔A,B〕,〔O,C〕〕とか〔〔A,O〕,〔B,C〕〕みたいなブロック行列のことを指すかと憶測しますが、一般的な線形代数の用語でないので部外者には判断がつきません。おそらくその本(あるいは授業)で特別に定義していて特定の意味があるのだと思います。
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56715.行列について  
名前:a    日付:2018年06月01日(金) 13時25分
可逆な行列をCとするときある行列M s.t.exp[2πiM]=Cが存在する。もしCが対角ブロック化されていたらそれは行列Mも同様である。

このようなMの任意の2つの固有値は整数だけ異なり、固有値が[0,1)内の実部にあるような行列Mが一意に存在する。
ことの証明がわかりません…英訳したので日本語が変なところがあるので原文も載せて起きます。
Given any invertible matrix C, there exist matrices M such that exp[2πiM] = C. If C is triangularly blocked of some type, then so are the matrices M. The eigenvalues of any two such M can only differ by integers, and there is a unique matrix M whose eigenvalues have real parts in the half-open interval [0, 1).
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