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DS 数学 BBS・2
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56706.Re: (a^2 - x^2)^(1/2) の積分  
名前:猫舌    日付:2018年05月31日(木) 21時17分
積分定数の違いなのですね。

積分定数は省略する参考書を使っていたのですが、自分で勉強するときは省略しないでちゃんと書いた方が良さそうですね。良い教訓を得ました。

ありがとうございました。
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56705.Re: (a^2 - x^2)^(1/2) の積分  
名前:らすかる    日付:2018年05月31日(木) 20時43分
どちらも正解です。
arcsin(x/a)=π/2-arccos(x/a) なので定数の違いです。

# arcsinと-arccosはまだ似ていてわかりやすいですが、
# 問題と解き方によっては差が定数である全く違う形の
# 解が出てくることもあります。

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56704.(a^2 - x^2)^(1/2) の積分  
名前:猫舌    日付:2018年05月31日(木) 20時27分
a > 0、|x| <= a という条件のもとで、(a^2 - x^2)^(1/2) の x に関する積分を求める問題で、部分積分を使って解くこと、また、x=a sin[t] (-π/2 <= t <= π/2) と置いて置換積分を使って解くことはできました。

今度は x=a cos[t] (0 <= t <= π) と置いて置換積分で解いてみようとしましたが、先の2通りで解いた方法と解が一致しません。先の2通りの場合の解は

(x (a^2 - x^2)^(1/2) + a^2 arcsin[x/a]) / 2

です。しかし、cos を使って置換積分してみたところ、私の解はこうなってしまいました。

(x (a^2 - x^2)^(1/2) - a^2 arccos[x/a]) / 2

cos で置換する方法はネットを探しても見当たらないように思えます。この方法では解けないのでしょうか。
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