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56709.Re: 特殊ユニタリ行列  
名前:naka    日付:2018年06月01日(金) 00時23分
特殊ユニタリ行列 A の成分を A=(a,b)(c,d) とおいてケーリー・ハミルトンの定理を使うと
A^2-(a+d)A+E=0
両辺に A^* をかけて
A-(a+d)E+A^*=0
⇔A+A^*=(a+d)E
を得ます。これの成分を比べるとまず b=-c^* であることが分かります。さらに左辺はエルミート行列なので a+d は実数であることが分かります。よって実数 r を使って d=a^*+r と表せます。これで
A=(a,-c^*)(c,a^*+r)
の形であることが分かります。あとは AA^*=E より |a|=|a^*+r| が導けてここから r=0 が従います。
つまり A=(a,-c^*)(c,a^*) の形であり det(A)=1 より a=x+iy,c=u+iv ならば x^2+y^2+u^2+v^2=1 なので全射が示せます。
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56701.特殊ユニタリ行列  
名前:くるくる    日付:2018年05月31日(木) 17時38分
いつもお世話になっております。
下記の問題で全射性の証明に手こずっており、お力をお貸しください。
以下*は共役複素数を表します。

(問題)
2次元特殊ユニタリ行列SU(2)と3次元球面S^3が位相同型であることを示せ。

考え方として、S^3から任意に点(x,y,u,v)をとり、複素数をz=x+yi, w=u+viと置き行列Aを
A=(z -w* )
(w z* )
とおくと特殊ユニタリ行列になります。
よって、写像fを
f: S^3 ------> SU(2)
と定め、これが全単射であることを言いたいのですが、単射性は明らかで、全射性がうまく言えません。
つまり任意にSU(2)から行列を取ったとき、各成分をa+biのように複素数で表示して、パラーメータが3次元球面上の点に対応すればいいとは思うのですが、計算が非常に複雑になってしまいます。
特殊ユニタリ行列の性質などを使ってうまく計算することで全射性を言えるのでしょうか。
ご教授ください。
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