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57030.Re: オイラー関数  
名前:TANTAN麺    日付:2018年06月21日(木) 23時07分
>G(a)⊆Λ×Aであり、λ∈Λ、x,y∈AのΛ×Aというのは(λ、xory)という組の集まりですか?
(λ、xory)を<λ,x>や<λ,y>という順序対のことだとすればその通りです.
ですから,Λ×Aは例えば<λ,x>を要素として持つということです.
  <λ,x>∈Λ×A.
順序対は(λ,x)のように丸括弧のほうがよく使われるかもしれませんね.

x,y∈Aの方はちょっと雑な書き方をしましたが,すぐ下に書いた論理式で集合Aの要素として2つの文字が使いたかったのでxとyを用意しただけです.


>G(a)というのは∧→Aの写像で∀λa(λ)=x,yの写像aによって対応する(λ、x,y )ですか?
こちらは,ちょっと違います.
Λ×Aが,∀λ∈Λと∀x∈Aとなるλとxの順序対<λ,x>達全体の集合であるのは先の前半の部分の回答の通りです.

G(a)はこのΛ×Aの部分集合で,写像aを決定づける「aのグラフ」と呼ばれるものとして書いています.Λ×Aの部分集合なので,G(a)の要素も<λ,x>という形をした順序対です.
このG(a)というΛ×Aの部分集合が決まれば,写像aが決まります.
しかし,部分集合ならなんでもいいというわけではなく,「写像」としてのaを決めるためには一定の規則が必要です.

その規則が,
(1) ∀λ∈Λ[<λ,x>∈G(a)∧<λ,y>∈G(a) → x=y] (関数的・右一意的)
(2) ∀λ∈Λ[∃x∈A(<λ,x>∈G(a))] (左全域的)
ということです.

>まだ、集合を学んでいないので
そういうことでしたら,上の書き方ではわかりにくいでしょうね.

写像a:Λ→Aを考えるにおいて,λ∈Λに対応するAの要素をa(λ)と書いて,λのaによる値(あるいは,λのaによる像)と呼びます.当然にa(λ)∈Aとなります.

(1)の意味は,aが写像なら,「各λに対して,a(λ)は一つしかない」という事です.
言い換えれば,aがΛのそれぞれの要素に対してAの要素を唯一つだけ対応させる対応の規則であるという意味です.

(2)の意味は,「Λのどの要素λであっても,λのaによる値a(λ)が存在する」ということで,各λのなかにa(λ)と対応していないような仲間はずれはいないという意味です.

対応を決める規則aがこの(1)と(2)を条件として満たしていれば,この規則aを写像と呼びます.
そして,写像aが決まれば,

<λ,a(λ)>∈G(a)⊆Λ×A

とすることで,G(a)が決まります.
また,ちょっとずるい感じもしますが,逆にG(a)を先に決まっているものとしてから「G(a)を定めるような対応規則」としてaを定義すれば,aが決まったことになります.
本音では言葉による定義と条件で写像aを決めるのですが,言葉による条件付けをいっぺんに数学で扱うことは難しいので,写像の一般論では建前で,Λ×Aの部分集合G(a)がすでに決まったことにしてからそれを写像aの定義とするのです.

もう少しうるさく言えば,写像aとは<Λ,A,G(a)>という順序三つ組のこととそっけなく定義します.

ここまでが写像の簡単な定義の話ですが,数列,制限写像と値集合(像集合)という概念を引き継いで勉強されると,「添数集合Λによって添数づけられた集合Aの元の族」の意味がはっきりと分かるようになると思います.
そうなれば,ぽんすれ氏さんのレスにある記号や式も理解できるでしょう.
58-189-181-113f1.hyg2.eonet.ne.jp (58.189.181.113)
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57029.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年06月21日(木) 17時51分
間違えました、∀λ∈∧です。
https://drive.google.com/file/d/1Yp89ara0v3y06Z4emQhU9roZF1uq1vy2/view?usp=drivesdk
sp49-98-162-50.msd.spmode.ne.jp (49.98.162.50)
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57028.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年06月21日(木) 17時48分
G(a)⊆Λ×Aであり、λ∈Λ、x,y∈AのΛ×Aというのは(λ、xory)という組の集まりですか?G(a)というのは∧→Aの写像で∀λa(λ)=x,yの写像aによって対応する(λ、x,y )ですか?まだ、集合を学んでいないので間違いがあると思うのですがよろしくお願いします。
https://drive.google.com/file/d/1Yp89ara0v3y06Z4emQhU9roZF1uq1vy2/view?usp=drivesdk
sp49-98-160-238.msd.spmode.ne.jp (49.98.160.238)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.1.1; F-03H Build/V12R048F) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.87 Mobile Safari/537.36

57023.Re: オイラー関数  
名前:TANTAN麺    日付:2018年06月21日(木) 08時24分
通りすがりさん、ご指摘ありがとうございます。
全単射の条件は全く不要の間違いでした。

質問者さんにも混乱を与えてしまいすみませんでした。
dcm2-119-240-141-17.tky.mesh.ad.jp (119.240.141.17)
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57018.Re: オイラー関数  
名前:通りすがり    日付:2018年06月21日(木) 06時40分
度々失礼します.

先程の投稿についてですが,「Π」は直積を表す記号として用いております.
p288107-ipngn200707fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (124.102.222.107)
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57017.Re: オイラー関数  
名前:通りすがり    日付:2018年06月21日(木) 06時38分
横から失礼します.

> 要は、集合としての集合族を扱っているけれども、言葉の節約のために写像(関数)的な記号を流用しているというだけです。

添え字付き集合族は単なる集合族とは異なる明確な目的があると思います.添え字付き集合族では,集合としては同じものを複数用意できる利点があります.即ち,{A_[λ]}_[λ∈Λ] について,集合として,A_λ= A_μ であっても,λとμが異なっていれば,両者は区別して考えています(写像として定義するのは,これを実現する為です).

例えば,Λ を正の整数全体のなす集合,各 A_λ を実数体 R ととれば,
 R^Λ = Π_(λ∈Λ ) A_λ
ですが,どの様に集合族(いくつかの集合からなる集合)F を定めても
 R^Λ = Π_( A in F ) A
と表すことが出来ません.

確かに TANTAN麺 さんの仰る通り,添え字付き集合族と単なる集合族の区別や扱いは,数学の専門書でもぞんざいに扱われがちですが,両社は明確に区別すべきもので,添え字付き集合族は,単なる集合族よりも,扱える範囲(表現できる範囲)が多いことに注意すべきかと存じます.
p288107-ipngn200707fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (124.102.222.107)
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57013.Re: オイラー関数  
名前:TANTAN麺    日付:2018年06月21日(木) 12時35分
繰り返しになりますが、もう一度「集合族」の定義について述べます。

数学において、集合族とは単に「集合またはクラスであって、その要素が集合であるもの」という意味しかありません。そして、集合系も集合族も本来同じ意味です。テキストによって別の意味合いをもたせたりする場合があって、異なる意味に定義されることが時折あるだけです。
以下、「集合の集合(クラス)」としての対象を集合族と呼び方を統一します。
そしてその意味での集合族が(クラスではなく)集合であるなら、和集合を取る操作が行なえます。

これに対して、「添数集合Λによって添数づけられた集合Aの元の族」を略して「Aの集合族」と呼ぶ場合があります。これは、概ね解析学などの方面の方言のようなものです。

集合の集合としての集合族Aがあって、添数集合Λがある。
このΛはAの各元に名前をつける、あるいは番号をふるための名札が入った集合のようなものです。集合族Aの特定の元を指定したい、あるいは、一括してAの部分集合(部分族)を指定したいという要請があって、そのために名札の入った集合Λを利用したいわけです。
これを形式的にやろうとすると、写像a:Λ→Aを定義するのが楽なわけです。
そして、その写像aを「添数集合Λによって添数づけられた集合Aの元の族」と呼び、「Aの集合族」、さらに乱暴に単に「集合族」と略することがあるのです。
この意味での集合族は写像なので、最初の「集合の集合(クラス)」としての集合族とは異なる概念です。
写像も「集合の集まり」とみなせるので和集合をとることも可能ですが、数学的にはわけのわからないことになります。
なので、和集合をとる場合は写像aではなく、その写像の値集合となっている集合族Aについての和集合をとることになります。
[追加]:そして、写像aを利用し、Aの部分集合を取り出して集合算を施したい場合などに、Λの部分集合Λ'を指定して、写像aのΛ'による制限a'という写像を作り、そのa'の値集合 (像集合)に和集合をとる演算などを行うのです。

このことが、ぽんすれ氏さんの書かれている[一般の状況]の意味です。


>[一般の状況]
>集合族{A_[λ]}_[λ∈Λ]に対して,μをΛの任意の元として

>A_[μ]⊆∪_[λ∈Λ]A_[λ]

>が成り立つ.

A_[μ]⊆∪_[λ∈Λ]A_[λ]の部分は、正確に略さないで書くと、
A_[μ]⊆∪_[λ∈Λ]{A_[λ]}_[λ∈Λ]のことだと思われます。
↑ここも私の見落としの間違いでした。

これは、解析などでは数列や点列という概念を一般化して「添数集合Λによって添数づけられた集合Aの元の族」を考えていった事による名残でしょう。
数列では数列それ自身の和集合を取ることはありませんから写像としての数列とその値域としての集合を同一視しても混乱はないわけです。

要は、集合としての集合族を扱っているけれども、言葉の節約のために写像(関数)的な記号を流用しているというだけです。
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57012.Re: オイラー関数  
名前:TANTAN麺    日付:2018年06月21日(木) 12時39分
>A_[λ]}_[λ∈Λ]のλというのは∧に属する添数だと理解したのですがこのλには任意のとか条件はついていますか?
写像a:Λ→Aとしてみた場合の「添数づけられた集合族」については、写像(一意写像)の定義からして、Λの要素であるλは変数として∀で束縛されています。

写像aのグラフをG(a)としますと、G(a)⊆Λ×Aであり、λ∈Λ、x,y∈Aとしますと、

(1) ∀λ∈Λ[<λ,x>∈G(a)∧<λ,y>∈G(a) → x=y] (関数的・右一意的)
(2) ∀λ∈Λ[∃x∈A(<λ,x>∈G(a))] (左全域的)

という2つを満たしていることが写像(あるいは一意写像)の通常よく使われる定義ですから、どちらも∀の条件がついているはずです。
しかも、単なる∀ではなく集合Λに制限されています。

>Aの元の族a:Λ→Aが一つ決まれば,各λ∈Λに対してa(λ)の値は一つに決まる.逆に,各λ∈Λに対してa(λ)の値が決まれば,写像a:Λ→Aが一つに決まる.ここは集合族が全単射ということを示していると理解したのですが誤りはないですか?
写像aが定まれば、「各λ∈Λに対してa(λ)の値は一つに決まる」ということは写像の定義の一部ですから当然です。
しかし、「各λ∈Λに対してa(λ)の値が決まれば,写像a:Λ→Aが一つに決まる」については、全射や全単射の条件とは全く違います。

全単射とは単射かつ全射のことです。質問者さんの条件では単射のことも全射のことも何も言っていません。
どうやら、質問者さんは全単射の定義から間違っているようです。

私の以前に書いた56980については、「普通、この写像は全単射です。」の部分は読み飛ばしても差し支えない(間違っておりました)ので、それ以外のところを理解するようにまず努めてください。

そして、その後に全射、単射などの定義を確認してください。
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57010.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年06月20日(水) 14時44分
横からありがとう御座います。
A_[λ]}_[λ∈Λ]のλというのは∧に属する添数だと理解したのですがこのλには任意のとか条件はついていますか?
Aの元の族a:Λ→Aが一つ決まれば,各λ∈Λに対してa(λ)の値は一つに決まる.逆に,各λ∈Λに対してa(λ)の値が決まれば,写像a:Λ→Aが一つに決まる.ここは集合族が全単射ということを示していると理解したのですが誤りはないですか?よろしくお願いします。

https://drive.google.com/file/d/1o1ewsXLN8cQsVKtg1ugAhnf5tARnKX-D/view?usp=drivesdk
fp7cdb8af8.gnma102.ap.nuro.jp (124.219.138.248)
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56980.Re: オイラー関数  
名前:TANTAN麺    日付:2018年06月21日(木) 12時51分
横から失礼します。
用語の定義の話で発散しているようなので、別の立場から説明させてもらいます。
用語・訳語としての定義の違いは各分野にあるので、この「集合族」という言葉もいくつかの異なった定義が混在しています。

概ね、集合族という言葉の定義は「集合(クラス)であって、その要素も(が)集合であるもの」といった意味しかありません。
同じ意味で、集合系という用語・訳語があり、これも大雑把には「集合の集まり」という程度の意味しかありません。

これは翻訳前の言語の違いや、翻訳者の感覚の違い、歴史的に集合・クラス・型などなどが一緒くたに「ものの集まり=集合」と扱われていた時期があったことなどが原因にあり、慣習として呼び方の違いとして残っている訳です。
特に、集合論などではもっと荒っぽくて、基本的な議論では、集合族と集合を区別せずに一緒くたに集合とよんでいます。(集合を要素とする集合も「集合」ですよね?)

ぽんすれ氏さんの提示された定義は、集合族とは「添数づけられた集合の族(あつまり)」となっています。

添数集合(添字集合)をΛとし、集合Aを「集合の集合」とした場合の

写像a:Λ→A

を、始集合(定義域)Λと、値域Aと、写像aのグラフの三つ組として、総合概念として集合族とよんでいます。
普通、この写像は全単射です。
↑全射・単射の条件は一般には邪魔で写像であることだけが正しいです。

そして、この場合に集合族の和集合をとる操作とは、この写像の値集合(像集合)である、Aの部分集合についての和集合を取ることを意味します。

同じ集合族という言葉を使っていますが、総合概念としての写像aとその値集合であるAの部分集合も集合族とよんでいます。
これは解析や幾何学ではよく見られるものです。
こういった用語の混同は、文脈的に意味の混乱のおそれがないとして慣例的に数学の各所で現れます。


さて、繰り返しになりますが、分野やテキストの違いなどで、「集合族」という用語の定義が異なっているわけです。
概ね「集合族」も「集合系」もなんの前提もなければ、「集合を要素に持つ集合」か「集合を要素に持つクラス」のことを指します。
そして、その意味で使いたい場合は「集合系」よりも「集合族」のほうが訳語としては多数派だと思われます。
「集合系」があまり使われないのは、「系」を「あつまり」として訳したのか「系列」として訳したのかで異なる定義のものがあるからです。
「集合列」や「系列」という「集合系」と混同されがちな用語もあり、「集合列」の定義も分野によって一定ではないことも原因にあるでしょう。

そして、集合族にしろ集合系にしろ、「集合のあつまりとしての集合」を考える時に、集合族の要素としての集合を簡単に指定したいという名付けの要請があって、構造としての添数付けの写像を考える訳ですが、あくまでも集合族と呼んだ場合の主役はその関数ではなく、その関数の値集合であるわけです。
「添数づけられた集合族」とある場合は、その目的を考えれば混乱の恐れはないので慣例としてその写像(関数)とその値集合(像集合)をともに略して「集合族」と呼ぶことが多いというわけです。

このことを踏まえてから、ぽんすれ氏さんの提示された[定義]と[一般の状況]を読んでみてください。



ここからは余談ですが、「その要素がすべて個体(個別対象)であって、その個体は要素を持たない」といった場合のみを集合とし、「集合の集まり」を集合族(あるいは集合系)と排他二分法的に区別する流儀があるわけですが、これは集合とほぼ同じ時期に生まれた、ものの集まりの定義である「型」の発想を一部に受け継いでいる流れです。
現在では、集合も型もクラスも特に厳密に区別せずに集合とよんでいる場合がありますが、ほとんどの数学の分野では集合と考えてもほぼ問題ありませんから、こういった用語の混同も許容されるわけです。
dcm2-49-129-186-128.tky.mesh.ad.jp (49.129.186.128)
Mozilla/5.0 (Android 7.1.1; Mobile; rv:60.0) Gecko/60.0 Firefox/60.0

56972.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年06月17日(日) 14時57分
写像a:Λ→Aを丸々元の族と呼ぶので良いですかね?
下の定義のどこを集合族と呼ぶのでしょうか?よろしくお願いします。

https://drive.google.com/file/d/1o1ewsXLN8cQsVKtg1ugAhnf5tARnKX-D/view?usp=drivesdk
fp7cdb8af8.gnma102.ap.nuro.jp (124.219.138.248)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.1.1; F-03H Build/V12R048F) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.87 Mobile Safari/537.36

56870.Re: オイラー関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月12日(火) 00時22分
先ほどのコメントの追記ですが,端的に言えば,集合系と集合族の間には

・集合系:集まり
・集合族:関数

という概念的な違いがあります.このことに留意してください.
softbank126066027120.bbtec.net (126.66.27.120)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/66.0.3359.181 Safari/537.36

56869.Re: オイラー関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月12日(火) 00時19分
>集合系の定義は「集合の集合、すなわちその元が全てそれ自身集合であるような集合」と把握しているのですが
その理解で概ねよいかと思います.


>集合族の定義がはっきりしない以前に元の族の理解が出来ていなかったので新たな質問となってしまうのですが、上の方の下線が引いてあるところの写像aというのは他でよく使われるfのような記号の一つですか?それと写像aは対応する元と元の関係を元の族と呼んでいるのですか?
とりあえず,集合族の定義の丁寧な記述を以下に与えます.一度お読み頂ければと思います.

[定義]
・A,Λを空でない集合とする.写像a:Λ→Aを「Aの元の族」とか「Λによって添数づけられたAの元の族」などと言う.
・Aの元の族a:Λ→Aが一つ決まれば,各λ∈Λに対してa(λ)の値は一つに決まる.逆に,各λ∈Λに対してa(λ)の値が決まれば,写像a:Λ→Aが一つに決まる.よって,しばしばa(λ)をa_[λ]と書いて,Aの元の族を(a_[λ]|λ∈Λ),{a_[λ]|λ∈Λ},(a_[λ])_[λ∈Λ],{a_[λ]}_[λ∈Λ]などと表記することがある.
・Aの元の族{a_[λ]}_[λ∈Λ]が与えられた時,集合Λを族{a_[λ]}_[λ∈Λ]の添数集合,Λの元を添数と言う.
softbank126066027120.bbtec.net (126.66.27.120)
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56868.Re: オイラー関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月12日(火) 00時03分
>自分の理解とは違っていました、与えてくださった集合G_[gcd(k,m)]の定義を見るとs=kとなるから>k∈G_[gcd(k,m)]の関係が成り立つということでよろしいでしょうか?
よろしくないです.言葉を使って説明をすると,集合G_[gcd(k,m)]とは「mとの最大公約数が『gcd(k,m)という値』である様な,N_[m]の要素全体からなる集合」のことです.このことを式で表すと

>G_[gcd(k,m)]={s∈N_[m]|gcd(s,m)=gcd(k,m)}

となります.
softbank126066027120.bbtec.net (126.66.27.120)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/66.0.3359.181 Safari/537.36

56841.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年06月10日(日) 23時17分
集合系の定義は「集合の集合、すなわちその元が全てそれ自身集合であるような集合」と把握しているのですが、集合族の定義がはっきりしない以前に元の族の理解が出来ていなかったので新たな質問となってしまうのですが、上の方の下線が引いてあるところの写像aというのは他でよく使われるfのような記号の一つですか?それと写像aは対応する元と元の関係を元の族と呼んでいるのですか?ご教授よろしくお願いします。
https://drive.google.com/file/d/1DbrdU7GIA0VFpSOTtA-PJ7eYKd6x3Jua/view?usp=drivesdk
fp7cdb8af8.gnma102.ap.nuro.jp (124.219.138.248)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.1.1; F-03H Build/V11R047C) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.81 Mobile Safari/537.36

56840.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年06月10日(日) 22時55分
集合G_[gcd(k,m)]は

G_[gcd(k,m)]={s∈N_[m]|gcd(s,m)=gcd(k,m)}

の様な集合です.分かりにくければ,d'=gcd(k,m)とおいて集合G_[d']がどういった集合なのかを考えてみて下さい.このことと質問者様のご認識が合っていましたら,それは正しい理解であると思って頂いて結構です.自分の理解とは違っていました、与えてくださった集合G_[gcd(k,m)]の定義を見るとs=kとなるから>k∈G_[gcd(k,m)]の関係が成り立つということでよろしいでしょうか?間違えていたら指導のほどをよろしくお願いします。

https://drive.google.com/file/d/1SMxiVjXrapxz_ZA5SZ74LMM4TYYppfbH/view?usp=drivesdk
fp7cdb8af8.gnma102.ap.nuro.jp (124.219.138.248)
Mozilla/5.0 (Linux; Android 7.1.1; F-03H Build/V11R047C) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/67.0.3396.81 Mobile Safari/537.36

56836.Re: オイラー関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月10日(日) 17時30分
>m=6の時、約数は1,2,3,6でこれらがdとすると1,2,3,6に対応するm/dは6/6=1,6/2=3,6/3=2,6/1=6となってd全てに対応するという理解で大丈夫でしょうか?
正確には,1,2,3,6の順にdが6の正の約数の集合上で値をとって変化する時,6,3,2,1の順に6/dも6の正の約数の集合上で値をとって変化するため,dと6/dのどちらも6の正の約数の集合上で全ての値をとっている,ということです.
softbank126129092009.bbtec.net (126.129.92.9)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/66.0.3359.181 Safari/537.36

56835.Re: オイラー関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月10日(日) 17時26分
>G_[gcd(k,m)]はgcd(k,m)で最大公約数が決まってその最大公約数で決まる集合Gという理解で大丈夫てしょうか?
集合G_[gcd(k,m)]は

G_[gcd(k,m)]={s∈N_[m]|gcd(s,m)=gcd(k,m)}

の様な集合です.分かりにくければ,d'=gcd(k,m)とおいて集合G_[d']がどういった集合なのかを考えてみて下さい.このことと質問者様のご認識が合っていましたら,それは正しい理解であると思って頂いて結構です.
softbank126129092009.bbtec.net (126.129.92.9)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/66.0.3359.181 Safari/537.36

56834.Re: オイラー関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月10日(日) 17時21分
>自分の解釈では集合族とは集合系の元である集合のことを集合族と理解しているのですが
話を発散させてしまう方向に誘導させてしまい申し訳ありません.

さて,この部分に関しては一先ず「集合族」と「集合系」の定義を正確に把握して頂くとよいかもしれません.
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56791.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年06月07日(木) 12時42分
ここで,dがmの正の約数全体を動く時,m/dもmの正の約数全体を動く.というのはm=6の時、約数は1,2,3,6でこれらがdとすると1,2,3,6に対応するm/dは6/6=1,6/2=3,6/3=2,6/1=6となってd全てに対応するという理解で大丈夫でしょうか?よろしくお願いします。
https://drive.google.com/file/d/18FmgGdMc9Pl1I_OZ6-vjJD4sm3IXYAKh/view?usp=drivesdk
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56790.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年06月07日(木) 11時56分
G_[gcd(k,m)]はgcd(k,m)で最大公約数が決まってその最大公約数で決まる集合Gという理解で大丈夫てしょうか?よろしくお願いします。
https://drive.google.com/file/d/18FmgGdMc9Pl1I_OZ6-vjJD4sm3IXYAKh/view?usp=drivesdk
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56789.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年06月07日(木) 11時20分
[一般の状況]
集合族{A_[λ]}_[λ∈Λ]に対して,μをΛの任意の元としてA_[μ]⊆∪_[λ∈Λ]A_[λ]のところの集合族の定義がよく分かりません。
自分の解釈では集合族とは集合系の元である集合のことを集合族と理解しているのですが誤りがあると思うので訂正お願いします。

https://drive.google.com/file/d/18FmgGdMc9Pl1I_OZ6-vjJD4sm3IXYAKh/view?usp=drivesdk
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56776.Re: オイラー関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月05日(火) 00時38分
>G(d)={k∈N_[m]|gcd(k/d,m/d)=1}.
>∴|G(d)|=φ(m/d).が成立するのが分かりません。
この部分に対する訂正を以下に与えます.これを参照の上で証明例を再度お読み頂ければと思います.

[訂正]
誤→G(d)={k∈N_[m]|gcd(k/d,m/d)=1}.
正→G(d)={k∈G_[d]|gcd(k/d,m/d)=1}.
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56769.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年06月04日(月) 23時01分
済みません。
ありがとう御座います。
よろしくお願いします。

https://drive.google.com/file/d/14GAToaTy277HqauOoE7fY6PW4NOgRu_C/view?usp=drivesdk
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56759.Re: オイラー関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月04日(月) 09時40分
>G(d)={k∈N_[m]|gcd(k/d,m/d)=1}.
>∴|G(d)|=φ(m/d).が成立するのが分かりません。
この箇所及びその周辺で誤植がある様です.ただ,現在はスマホからタイプを行なっておりますので,申し訳ありませんが帰宅後にレスを返させてください.
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56757.Re: オイラー関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月04日(月) 09時13分
>k∈N_[m]であるならば,
>k∈G_[gcd(k,m)]⊆∪_[d:mの正の約数]G_[d].が成立するのが分かりません。
gcd(k,m)がmの正の約数であること,和集合の定義を踏まえると分かることです.分かりにくければ,以下の一般の状況でまずは考えてみてください.

[一般の状況]
集合族{A_[λ]}_[λ∈Λ]に対して,μをΛの任意の元として

A_[μ]⊆∪_[λ∈Λ]A_[λ]

が成り立つ.
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56756.Re: オイラー関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年06月04日(月) 09時04分
>k∈G_[gcd(k,m)]⊆∪_[d:mの正の約数]G_[d]. で
>この[d:mの正の約数]とゆうのはG_[d]のdの説明ですかね?
”∪_[d:mの正の約数]G_[d]”は,G_[d] (d:mの正の約数) たちの和集合のことです.例えば,m=6の時は

∪_[d:6の正の約数]G_[d]
=G_[1]∪G_[2]∪G_[3]∪G_[6]

となります.
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56751.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年06月04日(月) 00時31分
k∈N_[m]であるならば,

k∈G_[gcd(k,m)]⊆∪_[d:mの正の約数]G_[d].が成立するのが分かりません。
G(d)={k∈N_[m]|gcd(k/d,m/d)=1}.
∴|G(d)|=φ(m/d).が成立するのが分かりません。よろしくお願いします。

https://drive.google.com/file/d/14GAToaTy277HqauOoE7fY6PW4NOgRu_C/view?usp=drivesdk
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56743.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年06月03日(日) 16時18分
k∈G_[gcd(k,m)]⊆∪_[d:mの正の約数]G_[d]. で
この[d:mの正の約数]とゆうのはG_[d]のdの説明ですかね?
違っていたら正しい解釈を教えてください。
よろしくお願いします。
https://drive.google.com/file/d/1ARcbqVn-zTCiN4uI4QolHi7G4pSE82uX/view?usp=sharing
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56649.Re: オイラー関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月29日(火) 21時43分
>k∈G_[gcd(k,m)]⊆∪_[d:mの正の約数]G_[d].
>すみません、これってどうに読めばいいですか?
kは集合G_[gcd(k,m)]の元であり,集合G_[gcd(k,m)]は和集合∪_[d:mの正の約数]G_[d]の部分集合である,と読まれます.
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56633.Re: オイラー関数  
名前:    日付:2018年05月29日(火) 11時16分
k∈G_[gcd(k,m)]⊆∪_[d:mの正の約数]G_[d].
すみません、これってどうに読めばいいですか?
https://drive.google.com/file/d/1gHSM0p9_TCFVWulcO1TgteNeUx-QRezM/view?usp=sharing
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56617.Re: オイラー関数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月27日(日) 10時27分
画像にある証明を読んでみましたが,読み手にとっては理解し難い書かれ方だなという印象を持ちました.とりあえず,以下に該当の命題の証明を与えておきます.まずはこちらを読み込んで理解するようにして下さい.

# 集合Sに対して,|S|をSの要素の個数として表しています.
# このことを念頭に置いた上で以下をお読みください.
_______________________________

[証明]
集合N_[m]をN_[m]={1,2,...,m}の様に定める.また,各d∈N_[m]に対して,集合G_[d]を

G_[d]={s∈N_[m]|gcd(s,m)=d}

の様に定義する.この時,次が成り立つ:

(a)N_[m]=∪_[d:mの正の約数]G_[d]が成り立つ.
(b)任意のd,d'∈N_[m]に対して,d≠d'ならばG_[d]∩G_[d']=Φである.

実際,任意の元k∈Nを選んだ時,k∈N_[m]であるならば,

k∈G_[gcd(k,m)]⊆∪_[d:mの正の約数]G_[d].

よって,N_[m]⊆∪_[d:mの正の約数]G_[d]が成り立つ.一方,G_[d]⊆N_[m](d:mの正の約数)であるから,

∪_[d:mの正の約数]G_[d]⊆N_[m].

したがって,(a)の主張が成り立つ.


また,d,d'∈N_[m]を任意に選んだ時,d≠d'であると仮定する.この時,G_[d]とG_[d']のうちいずれか一方が空集合の場合は,(b)の主張の成立は明らかである.一方,G_[d]とG_[d']がいずれも空でない場合は,G_[d]∩G_[d']≠Φと仮定するとある元x∈G_[d]∩G_[d']が存在する.この時,

d=gcd(x,m)=d'

よりd=d'である.ところが,いまd≠d'であるから矛盾が生じる.したがって,(b)の主張の成立を得る.


以上の(a)と(b)の主張により,集合N_[m]は集合たちG_[d](d:mの正の約数)の非交和で表わされる.この時,N_[m]と∪_[d:mの正の約数]G_[d]の要素の個数を比べれば,

m=|N_[m]|
=|∪_[d:mの正の約数]G_[d]|
=Σ_[d:mの正の約数]|G_[d]|.

ところで,dをmの任意の正の約数とする時,任意の元u∈G_[d]に対して

d=gcd(u,m)⇔1=gcd(u/d,m/d)

が成り立つ.よって,

G(d)={k∈N_[m]|gcd(k/d,m/d)=1}.
∴|G(d)|=φ(m/d).

したがって,

m=Σ_[d:mの正の約数]|G_[d]|
=Σ_[d:mの正の約数]φ(m/d).

ここで,dがmの正の約数全体を動く時,m/dもmの正の約数全体を動く.よって,集合の式として

{φ(d)|dはmの正の約数}={φ(m/d)|dはmの正の約数}

が成り立つ.したがって,

m=Σ_[d:mの正の約数]φ(m/d)
=Σ_[d:mの正の約数]φ(d).
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56591.オイラー関数  
名前:    日付:2018年05月25日(金) 14時40分
途中まで分かっているつもりですが最後の式になるところがそうではないと思いますが、いきなり出て来ている気がしてよく分かりません。
途中も含めた解説をよろしくお願いします。

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