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56630.Re: 級数のコーシーの収束条件  
名前:    日付:2018年05月29日(火) 09時35分
有難うございました。
https://drive.google.com/file/d/1gHSM0p9_TCFVWulcO1TgteNeUx-QRezM/view?usp=sharing
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56605.Re: 級数のコーシーの収束条件  
名前:sphere    日付:2018年05月26日(土) 17時06分
続きです.

S_n=Σ_[k=1→n](1/k)は実はこの否定命題を満たしています.
コーシーの条件を満たさないということですね.

なぜかというと, その本の言う通り
S_{2^(n+1)}-S_{2^n}=1/2
なので

あるδ=1/2が存在して, 任意の自然数Nに対し, m=2^{N+1}, n=2^{N} とおくと
(m,nともにNより大きいです) |S_m-S_n|≧δ(=1/2)が成り立っています.
e46-53.star.net.tohoku.ac.jp (130.34.46.53)
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56604.Re: 級数のコーシーの収束条件  
名前:sphere    日付:2018年05月26日(土) 16時59分
こんにちは.

級数Σ_[n=1→∞](1/n)が収束するというのは,
第n部分和 S_n:=Σ_[k=1→n](1/k) が収束するということで,
数列{S_n}_{n=1}^∞がある実数に収束するということです,

実数列{a_n}_{n=1}^∞が収束する必要十分条件がその本に書いてあるコーシーの条件です.

コーシーの条件とは次のような条件です:
任意のε>0に対してある自然数Nが存在して, n,m>Nを満たす任意の自然数n,mに対し
|a_n-a_m|<εが成り立つ.

直感的には, 「十分大きい番号n,mに対して|a_n-a_m|を計算すると
これはいくらでも小さくなれるんですよ」というのがコーシーの条件です.

この条件の否定命題を考えてみましょう. それは,

あるδ>0が存在して, 任意の自然数Nに対し, n,m>Nを満たす自然数が存在して
|a_n-a_m|≧δが成り立つ.

です. 直感的には, 「十分大きい番号n,mを取ってきて|a_n-a_m|を計算しても
これはいくらでも小さく出来るわけではないんですよ」ということを言っています.
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56589.Re: 級数のコーシーの収束条件  
名前:    日付:2018年05月25日(金) 12時28分
この本のコーシーの収束条件はこのようになってます。
https://drive.google.com/file/d/1SAmt5-hGpZ49FiPMlZSFHKc8Ho5Mo5kO/view?usp=drivesdk
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56588.級数のコーシーの収束条件  
名前:    日付:2018年05月25日(金) 12時27分
この級数はどこがどのようにコーシーの収束条件を満たしていないのでしょうか?
よろしくお願いします。

https://drive.google.com/file/d/1h-Vwh0y-QheHWvqWgkjxIAuJ-ZNEJFO7/view?usp=drivesdk
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