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56603.Re: 素数に関する問です  
名前:IT    日付:2018年05月25日(金) 20時01分
そうですね数学の天才を見つけるための出題かも知れませんね。
あるいはp^2+2 が容易なので、p^2+4 の判定も容易と勘違いされたのかも
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56602.Re: 素数に関する問です  
名前:M.S    日付:2018年05月25日(金) 19時53分
早とちりしましたが、一般には証明されていないだけなのでp^2+4型に限っては証明できる可能性はありますね。まだ粘ってみようと思います。
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56601.Re: 素数に関する問です  
名前:M.S    日付:2018年05月25日(金) 19時47分
返信ありがとうございます。
自分は物理系志望なのであまり詳しくはないのですが、担当の教授方は代数学専門の方だったようで、集合と位相の講義と言いながら、後半はほとんど群論の講義になっていたり、となかなか凄まじい講義でした。
課題として出題されたからには解答があると思っていたのですが、未解決問題でしたか...。どうりで誰も解けないわけですね。未解決と教えずに問題だけ与えるなんて意地が悪いなあという感じはしますが、未解決とわかっただけスッキリしました。
どうもありがとうございました。
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56598.Re: 素数に関する問です  
名前:らすかる    日付:2018年05月25日(金) 18時23分
> an^2+bn+cの形の素数は無限にある

↓このページの「ハーディ・リトルウッドのF予想」の項に
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%81%AE%E8%9E%BA%E6%97%8B
「現在まで証明されていない」と書かれています。
「現在」がいつを指しているのかわかりませんが、
おそらく今でも証明されていないでしょう。

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56597.Re: 素数に関する問です  
名前:IT    日付:2018年05月25日(金) 19時48分
このような難問が数論の課題ではなく、集合と位相の演習(2回生以上?)で出題されるのは、不思議ですね。
同じ日の問題は、どんなのがあるのですか?数論的なのですか?

少し古いですが
G.H.ハーディ/E.M.ライトの「数論入門1」には、素数に関する未解決問題として

n^2+1 の形の素数は無限にある。
より一般に、a,b,cが1より大きい公約数を持たないような整数で、aは正、a+bとcのどちらかは偶数でない,
b^2-4ac は完全平方ではないとする.
このとき,an^2+bn+cの形の素数は無限にある.

という予想が載っています。その後、解決されたかは不明です。


https://math.stackexchange.com/questions/44126/primes-of-the-form-n21-hard
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56596.Re: 素数に関する問です  
名前:IT    日付:2018年05月25日(金) 17時51分
p^2+2 の形 については2006年京大入試(理系4番)で出題されていますね。
同じような問題でも、p^2+4 となると格段に難しくなりますね。

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/kakomon/2006/06ka104.htm
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56577.Re: 素数に関する問です  
名前:M.S    日付:2018年05月25日(金) 01時37分
解答ありがとうございます。
自分の大学の集合と位相の演義の最後に毎回出される解答未発表の課題として出題されたのでおそらく解決済みなのではないかと思います。
担当教員に解答を公開してもらいたいのですが、演義の最後の問については、もし解けたらレポートとして提出すれば採点して返却してもらえるだけで、それ以外の形で解答を知る方法がありません。
今までは1人ないし数人で取り組めば、解けるような問だったのですが、今回は出題されてから1週間以上経っても誰1人解けていないのでこちらで質問させていただきました。
一般の自然数の場合に数列{n^2+4}n∈Nに素数が無数に現れるか、という命題についても考えたのですが、ITさんの仰る通り、こちらも非常に難しく、誰1人解けていません。
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56573.Re: 素数に関する問です  
名前:IT    日付:2018年05月24日(木) 23時36分
pを素数とする。p^2+4 の形で表される素数は無数に存在する.が真
ならば
nを自然数とする。n^2+4 の形で表される素数は無数に存在する.が真になります。

後者もかなり難しい(証明されているとしても最近)問題だと思いますが

元の問題は、解決済みの問題として出題されたのでしょうか?
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56569.素数に関する問です  
名前:M.S    日付:2018年05月24日(木) 17時21分
pを素数とする。p^2+4 の形で表される素数は無数に存在するか。

この問いが解けません。
pが5以上の時、p≡-1or1(mod6) からp^2+4≡-1なので、6で割って5余る素数が無数に存在し、素数が無数に存在することから直観的には無数にありそうだな、とは思うのですが、示すことができませんでした。
知恵をお貸しいただけると幸いです。
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