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56564.Re: 正規直交基底  
名前:57    日付:2018年05月24日(木) 12時11分
ありがとうございます。
同様の議論で一般の場合についてもできました。
ありがとうございました。
sp49-98-84-242.mse.spmode.ne.jp (49.98.84.242)
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56554.Re: 正規直交基底  
名前:黄桃    日付:2018年05月23日(水) 23時45分
計算するだけです。
n=2 の時に書き出しますので参考にしてください(一般の場合もできるはずです)。

Y1=(√(2/3) sin(π/3), √(2/3) sin(2π/3))
Y2=(√(2/3) sin(2π/3), √(2/3) sin(4π/3))

|Y1|^2=(√(2/3) sin(π/3))^2+(√(2/3) sin(2π/3))^2
=(2/3)(sin^2(π/3)+sin^2(2π/3))
=(2/3)((1/2)(1-cos(2π/3))+(1/2)(1-cos(4π/3)) 半角公式
=(2/3)(1/2)(2-cos(2π/3)-cos(4π/3))
=(2/3)(1/2)(2-Re(e^(it)+e^(2it)) (t=2π/3)
=(2/3)(1/2)(2-Re(e^(it)-e^(3it)/(1-e^(it)) 等比数列の和の公式
=(2/3)(1/2)(2-Re(e^(it)-1)/(1-e^(it))) 3t は2πの整数倍
=(2/3)(1/2)(2+1)
=1


|Y2|^2=(√(2/3) sin(2π/3))^2+(√(2/3) sin(4π/3))^2
=... (t=4π/3 として上と同じ)
=1

(Y1,Y2)=√(2/3) sin(π/3)*√(2/3) sin(2π/3)+√(2/3) sin(2π/3)*√(2/3) sin(4π/3)
=(2/3)sin(t)*sin(2t)+(2/3)sin(u)*sin(2u) (t=π/3, u=2π/3=2t)
=(2/3)(1/2)(cos(3t)-cos(t))+(2/3)(1/2)(cos(3u)-cos(u))
=(2/3)(1/2)(cos(3t)+cos(3u)-cos(t)-cos(u)) (上と同様の計算)
=(2/3)(1/2)(-1-(-1))
=0

#ζを1ではない1のn乗根とすると、0=1-ζ^n=(1-ζ)(1+ζ+ζ^2+...+ζ^(n-1)) より、
#1+ζ+ζ^2+...+ζ^(n-1)=0 となり、実部をとれば
#cos(ζ)+cos(2ζ)+...+cos((n-1)ζ)=-1 となるということです。
fp276e1bf1.chbd224.ap.nuro.jp (39.110.27.241)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:59.0) Gecko/20100101 Firefox/59.0

56543.正規直交基底  
名前:57    日付:2018年05月23日(水) 11時15分
root(2/(n+1))sin(kiπ/(n+1)) (i=1,2,…,n)

を成分とするn次元空間のベクトルYk(k=1,2,…,n)が正規直交基底となることを示せ。

よろしくお願いします。
zaqb4dde177.zaq.ne.jp (180.221.225.119)
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