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56542.Re: 最大固有値のラグランジュの未定乗数法での解法(2)  
名前:さる    日付:2018年05月23日(水) 10時24分
λ_kは、 <x,x_j>=0(j=1,2,…,k−1) かつ単位球面上で最大化なのだから、xは <x,x_j>=0(j=1,2,…,k−1)上を動かなければならないのでは?
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56530.Re: 最大固有値のラグランジュの未定乗数法での解法(2)  
名前:数学弱者    日付:2018年05月22日(火) 02時31分
すみません。P_k(x)が抜けていました。

P_k(x)=<Ax,x>−μ(<x,x>−1)−Σ[j=1,k-1](α_j)<x,x_j>とします。
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56529.最大固有値のラグランジュの未定乗数法での解法(2)  
名前:数学弱者    日付:2018年05月22日(火) 02時28分
固有値の最大化原理についての質問です。

x,yをn次元実ベクトルとして、<x,y>=(y^T)xはxとyの内積です。(x^T)はxの転置行列を表します。

実対称行列Aに付随する二次形式q(x)=<Ax,x>に対し、λ_1=max{q(x)}は行列Aの最大固有値であり、その時のx=x_1は固有値λ_1に対応する固有ベクトルになるとします。

また、λ_kをλ_k=max{q(x)|<x,x_j>=0(j=1,2,…,k−1),||x||=1}とします。

すると、λ_k=q(x_k)はAのk番目の固有値で、x_kはそれに対応する固有ベクトルであることをラグランジュの未定乗数法を用いて示そうとしていますが、疑問点があります。

まず、P_k(x)=<Ax,x>があったのですが、

x_kがP_k(x)を最大化する、すなわち、P_k(x_k+h)−P_k(x)≦0が任意のn次元実ベクトルhに対して成り立っているとする。

この時条件<x_k,x_j>=0(j=1,2,…k-1)を用いると

P_k(x+h)−P_k(x)=2(<Ax_k,h>−μ<x_k,h>)+<Ah,h>−μ<h,h>とテキストには書かれていますが、

私がP_k(x+h)−P_k(x)を計算すると、

P_k(x+h)−P_k(x)=2(<Ax_k,h>−μ<x_k,h>)+<Ah,h>−μ<h,h>−Σ[j=1,k-1](α_j)<h,x_j>

と余計な項がついています。『−Σ[j=1,k-1](α_j)<h,x_j>』の項はなぜ消えるのでしょうか?hは任意のn次元ベクトルなので<h,x_j>=0とはならないような気がするのですが?
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