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56524.Re: ルベーグ積分の問題  
名前:さる    日付:2018年05月21日(月) 21時58分
収束定理使って良いなら、(1)はすぐにわかりますので一応。

(-∞,x)で1, 他で0となる関数をg_x(y)とおけば、F(x)というのは、
h_x(y)=g_x(y)f(y)をR上で積分した値に他なりません。

|h_x|<=|f|
であり、fはR上可積分であるので、h_xの積分に対してLebesgueの収束定理を使えば、結論が従います。
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56507.Re: ルベーグ積分の問題  
名前:ルベーグ積分    日付:2018年05月20日(日) 15時52分
sphereさん
ご解答ありがとうございます。
わかり易い解答でした。
収束定理や項別積分定理に目を向けすぎて、測度論が疎かになっていました。
当たり前のことも、測度に帰着すれば解けるみたいですね。
頑張って測度論の復習をします。
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56494.Re: ルベーグ積分の問題  
名前:sphere    日付:2018年05月20日(日) 01時52分
こんばんは.

一見明らかに見えますが, ちゃんと証明するのはそれなりに大変そうです.

[前半]
Rのルベーグ可測集合全体をLとおく. A∈Lに対し, μ(A)=∫_{A}|f(y)|dyとおく.
このとき, μはL上の有限測度になる(これは自分で確認して下さい).
また, 集合列{A_n}がA_1⊃A_2⊃…を満たすとき,
lim[n→∞]μ(A_n)=μ(∩_[n=1]^[∞]A_n)が成り立つ(これは有限測度の基本性質の1つです).

これらを踏まえると,
lim_{x→-∞}∫_{-∞}^{x}|f(y)|dy=lim_{n→∞}∫_{-∞}^{-n}|f(y)|dy
lim_{n→∞}μ((-∞,-n))=μ(∩_[n=1]^[∞](-∞,-n))=μ(φ)=0.

よって
lim_{x→-∞}|∫_{-∞}^{x}f(y)dy|
≦lim_{x→-∞}∫_{-∞}^{x}|f(y)|dy=0.

で証明が完了します.

後半の問題はルベーグの収束定理を使えば出来ると思います.
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56491.ルベーグ積分の問題  
名前:ルベーグ積分    日付:2018年05月20日(日) 00時39分
Original Size: 750 x 534, 43KB

この問題の(1)の解き方を教えてください。
(2)は普通に解けますが(1)は当たり前のことのような気がして書くことが思いつきません。
よろしくお願いします。
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