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56489.Re: 最大固有値のラグランジュの未定乗数法での解法  
名前:数学弱者    日付:2018年05月19日(土) 22時51分
自分で定義域||x||=1を書いておきながら見落としていました。確かに定義域上でP(x)=q(x)ですね。

ご回答ありがとうございます。
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56488.Re: 最大固有値のラグランジュの未定乗数法での解法  
名前:naka    日付:2018年05月19日(土) 21時07分
P(x)=q(x)-μ(<x,x>-1) と置いたわけですが、いま定義域は ||x||=1 なので P(x)=q(x) です。
よって x=x_1 で P(x) が最大値を取るなら q(x) もそこで最大値をとります。
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56483.最大固有値のラグランジュの未定乗数法での解法  
名前:数学弱者    日付:2018年05月19日(土) 11時58分
xをn次元実ベクトルとして、||x||=1とします。

実対称行列Aに付随する二次形式q(x)=<Ax,x>に対しλ_1=max{q(x)}は行列Aの最大固有値であり、その時のx=x_1は固有値λ_1に対応する固有ベクトルになる

という定理を証明しようとしましたが、疑問になることがあります。

参考書なども参考にして解いていくと、以下のようになりました。

P(x)=q(x)−μ(<x,x>−1)=0において、P(x)を最大化することを考える。

P(x)をhに関して展開すれば、P(x+h)=P(x)+2<Ah,x>+R_2となる。

また、Aは実対称行列より<(A−μE)h,x>=<(A−μE)x,h>となるので、P(x)がx=x_1で最大になるとすると、

P(x_1+h)=P(x_1)+2<Ax_1,h>+R_2(R_2は剰余項)となる。この時<(A−μE)x_1,h>=0である。そうでない場合、P(x_1+h)のhの符号を逆転した場合、<(A−μE)x_1,h>のみ符号が逆転してP(x_1)が最大値であることに矛盾。

よって、この時、Ax_1=μx_1が成立する。

また、δP(x)/δx=2x^T(A−μE)となるので、P(x)が最大となるx=x_1で、q(x)は極値を取ることが分かる。

ここからが質問ですが、x=x_1でq(x)が極値を取ることが分かりましたが、最大値であることをどう示せばよいのか分かりません。

Aの固有値をλとして、大きさ1の固有ベクトルxを取ると、Ax=λxとなり、左からx~Tを掛けると、<Ax,x>=q(x)=λとなるので、q(x)の最大値を求めることが最大固有値を求めることにつながるのですが、極値が最大値であることが示せません。

どうすればよいのでしょうか?
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