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DS 数学 BBS・2
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56434.Re: 線形代数  
名前:カッティ    日付:2018年05月14日(月) 10時49分
Aをn個の行ベクトルを並べたも(a_[1],a_[2],...,a_[n])★と考えたとき、
(1)
◆rankA=nならば★は線形独立である。
対偶をとって
★が線形従属ならばrankA=nでない。

実際、★が線形従属なら、★のある自明でない線形結合が0となる。
よって、係数(c1,c2,...,cn)を適当に選んで、
c1*a_[1]+c2*a_[2]+,...,+cn*a_[n]=0
とできる。c1が零でないとすると
a[1]=(c2/c1)*a_[2]+(c3/c1)*a_[3]+...+(cn/c1)*a_[n]
とできるので、列基本変形で
(a_[1],a_[2],...,a_[n])→(0,a_[2],...,a_[n])
とできる。よってrankA≦n-1である。
(1列目から(c2/c1)*a_[2]+(c3/c1)*a_[3]+...+(cn/c1)*a_[n]を引いた。)


◆逆に★が線形独立ならばrankA=nである。
もしrankA=nでないとすれば、列基本変形で
(0,a_[2],...,a_[n])とできる。列基本変形は、※だけを使って実現できるので
det(a_[1],a_[2],...,a_[n])=det(0,a_[2],...,a_[n])=0
こうして矛盾を得る。よってrankA=nである。

(2)
もし、AX=Bがふたつの解X=(x1,x2,...xn)^t,Y=(y1,y2,...,yn)^tをもつとすれば、
AX-AY=0,
よって A(X-Y)=0 成分表示すれば、
(x1-y1)*a_[1]+(x2-y2)*a[2]+...+(xn-yn)*a[n]=0
★は線形独立なので、これは自明な線形結合である。
従って、係数はすべて零であり
(x1-y1)=0,(x2-y2)=0, ... , (xn-yn)=0
∴X=Y

(※行列式の計算)(適当な教科書を参照してください)
@列同士交換すると符号が反転する。
Aある列のスカラー倍を別の列に加えても、行列式の値は変わらない
(馬鹿猫/回答者)
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56420.線形代数  
名前:さちゃん    日付:2018年05月14日(月) 00時29分
n次正方行列をAとする。また、XとBをn×1行列とする。(nは2以上の自然数)AとBの各成分の実数値を固定し、Xの各成分は実数の変数からなる行列で、方程式AX=Bを満たすとする。このとき|A|≠0ならば
⑴Aの階数がnであること
⑵Xはただ一つの解を持つことを示しなさい。

この2つの問題が解けません。数学苦手なので
細かい考え方まで教えて頂けると嬉しいです。
よろしくお願いします
(大学 1 年/質問者)
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