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56555.Re: 極限と実数の連続性  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月24日(木) 00時00分
>何でαをこのように置き換えて良いのですか?
>α=(1-α^2/3)
αは漸化式a_[n]=1-(a_[n])^2/3の不動点だからです.もしこの記述をお読みになられてもピンとこないようでしたら,画像にある参考書のページに記載されている「漸化式の不動点」の定義を読み返してみて下さい.
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56531.Re: 極限と実数の連続性  
名前:    日付:2018年05月22日(火) 10時52分
何でαをこのように置き換えて良いのですか?
α=(1-α^2/3)

https://drive.google.com/file/d/1U0D0r3oTbi72IeriIYOK0pBfpb035vLe/view?usp=drivesdk
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56384.Re: 極限と実数の連続性  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月24日(木) 02時05分
そういうことでしたか.了解しました.とりあえず,式(2.65)の導出後から先の証明を以下に与えておきます.ご参考ください.

# 以下の証明では,αをα_[+]に読み替えてください.
# 証明で登場する|I_[n]|は,閉区間I_[n]の長さです.
_____________________________

[式(2.65)から先の証明]
c_[n]=(a_[n]+a_[n-1])/3(n≧2)とおくと,n≧2に対して

0<c_[n]=(a_[n]+a_[n-1])/3<(1+1)/3=2/3

により0<c_[n]<2/3(n≧2)が成り立つ.よって,

|a_[n+1]-a_[n]|
=c_[n]|a_[n]-a_[n-1]|
<2/3・|a_[n]-a_[n-1]|

がn≧2において成立する.


次に,x_[n]=a_[2n],y_[n]=a_[2n-1](n≧1)により,数列{x_[n]}_[n≧1],{y_[n]}_[n≧1]を定義する.この時,下記が成立する:

(1)n≧1に対して,x_[n]<α<y_[n]
(2){x_[n]}_[n≧1]は単調増加列
(3){y_[n]}_[n≧1]は単調減少列

(1)n=1の時は,α<a_[1]とy_[1]=a_[1]よりα<y_[1]であり,

α-x_[1]
=α-a_[2]
=(1-α^2/3)-(1-(a_[1])^2/3)
=((a_[1])^2-α^2)/3
>0

によりx_[1]<αである.よって,x_[1]<α<y_[1]である.また,n=kの時にx_[n]<α<y_[n]が成立すると仮定すると,

y_[n+1]-α
=a_[2n+1]-α
=(1-(a_[2n])^2/3)-(1-α^2/3)
=(α^2-(x_[n])^2)/3
>0,
α-x_[n+1]
=α-a_[2n+2]
=(1-α^2/3)-((1-(a_[2n+1])^2/3)
=((y_[n+1])^2-α^2)/3
>0

により,x_[n+1]<α<y_[n+1]が成立する.したがって,nに関する数学的帰納法によりx_[n]<α<y_[n](n≧1)が成り立つ.
(2)各nに対して,

x_[n+1]-x_[n]
=a_[2n+2]-a_[2n]
=a_[2n+2]-a_[2n+1]+a_[2n+1]-a_[2n]
=-1/3・(a_[2n+1]+a_[2n])(a_[2n+1]-a_[2n])+a_[2n+1]-a_[2n]
=(y_[n+1]-x_[n]){1-1/3・(y_[n+1]+x_[n])}
={(y_[n+1]-α)+(α-x_[n])}{1-1/3・(y_[n+1]+x_[n])}.

いまα<y_[n+1]かつx_[n]<αであるから,(y_[n+1]-α)+(α-x_[n])>0である.また,

1-1/3・(y_[n+1]+x_[n])>1-1/3・(1+1)=1/3>0

であるから,

x_[n+1]-x_[n]
={(y_[n+1]-α)+(α-x_[n])}{1-1/3・(y_[n+1]+x_[n])}
>0.

したがって,x_[n]<x_[n+1](n≧1)が成り立つ.すなわち,{x_[n]}_[n≧1]は単調増加列である.
(3)各nに対して,

y_[n]-y_[n+1]
=a_[2n-1]-a_[2n+1]
=a_[2n-1]-a_[2n]+a_[2n]-a_[2n+1]
=a_[2n-1]-a_[2n]-1/3・(a_[2n-1]+a_[2n])(a_[2n-1]-a_[2n])
=(y_[n]-x_[n]){1-1/3・(y_[n]+x_[n])}.

いまx_[n]<α<y_[n]であるから,y_[n]-x_[n]>0である.また,

1-1/3・(y_[n]+x_[n])>1-1/3・(1+1)=1/3>0

であるから,

y_[n]-y_[n+1]
=(y_[n]-x_[n]){1-1/3・(y_[n]+x_[n])}
>0.

したがって,y_[n]>y_[n+1](n≧1)が成り立つ.すなわち,{y_[n]}_[n≧1]は単調減少列である.


さて,閉区間列{I_[n]}_[n≧1]を,n≧1に対して

I_[2n-1]=[x_[n],y_[n]],
I_[2n]=[x_[n],y_[n+1]]

である様に定義すると,I_[n+1]⊂I_[n](n≧1)である.実際,nが偶数ならば

I_[n]=[x_[n/2],y_[n/2+1]],
I_[n+1]=[x_[n/2+1],y_[n/2+1]]

であり,{x_[n]}_[n≧1]は単調増加列であるから,

I_[n+1]
=[x_[n/2+1],y_[n/2+1]]
⊆[x_[n/2],y_[n/2+1]]
=I_[n].
∴I_[n+1]⊆I_[n].

一方,nが奇数ならば,

I_[n]=[x_[(n+1)/2],y_[(n+1)/2]],
I_[n+1]=[x_[(n+1)/2],y_[(n+1)/2+1]]

であり,{y_[n]}_[n≧1]は単調減少列であるから,

I_[n+1]
=[x_[(n+1)/2],y_[(n+1)/2+1]]
⊆[x_[(n+1)/2],y_[(n+1)/2]]
=I_[n].
∴I_[n+1]⊆I_[n].

また,lim_[n→∞]|I_[n]|=0である.実際,n>1に対して

|I_[2n]|
=y_[n+1]-x_[n]
=a_[2n+1]-a_[2n]
=|a_[2n+1]-a_[2n]|
<2/3・|a_[2n]-a_[2n-1]|
=2/3・|x_[n]-y_[n]|
=2/3・(y_[n]-x_[n])
=2/3・|I_[2n-1]|,
|I_[2n+1]|
=y_[n+1]-x_[n+1]
=a_[2n+1]-a_[2n+2]
=|a_[2n+2]-a_[2n+1]|
<2/3・|a_[2n+1]-a_[2n]|
=2/3・|y_[n+1]-x_[n]|
=2/3・(y_[n+1]-x_[n])
=2/3・|I_[2n]|

であるから|I_[n+1]|<2/3・|I_[n]|(n≧1)が成立し,n>1に対して

0≦|I_[n]|
<2/3・|I_[n-1]|
<…
<(2/3)^{n-1}・|I_[1]|
=(2/3)^{n-1}・(y_[1]-x_[1])
→0(n→∞).
∴lim_[n→∞]|I_[n]|=0.

したがって,区間縮小法の原理より数列{x_[n]}_[n≧1]と{y_[n]}_[n≧1]の極限が存在し,

lim_[n→∞]x_[n]=lim_[n→∞]y_[n].

この極限値をβとすると,

lim_[n→∞]a_[2n]=lim_[n→∞]a_[2n-1]=β.
∴lim_[n→∞]a_[n]=β.


ところで,{a_[n]}_[n≧1]は各項が正の数列であるからβ≧0である.実際,もしβ<0であるとすれば,lim_[n→∞]a_[n]=βにより

∃n_[0]∈N;∀n∈N(n≧n_[0]⇒|a_[n]-β|<|β|/2).

この時,|β|=-βに注意すると,

3β/2=β-|β|/2<a_[n]<β+|β|/2=β/2

がn≧n_[0]に対して成立する.これより

a_[n]<β/2<0(n≧n_[0])

となるが,これは{a_[n]}_[n≧1]が「各項が正」の数列であることと矛盾する.したがって,β≧0である.
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56383.Re: 極限と実数の連続性  
名前:    日付:2018年05月11日(金) 14時41分
度々、解答していただいているにもかかわらず、このような無礼な形になってしまったことをお許し下さい。今後改善していきます。
上の矢印は関係ありません。
2.65の式となるから区間収縮法が適応されるとなるまでの過程が分かりません。
自分の解釈はcnがnを変えることによってかかっていく(積み重なる?)から2.65の式が0に収束するのかと思いました。
言葉がおかしいかもしれませんがよろしくお願いします。

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56378.Re: 極限と実数の連続性  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月11日(金) 13時27分
画像に書かれていることは「メモ」同然であり,それの真偽等を含めた確認してもらう様に回答者側に依頼を行うのは無理があると思います.

もし理解の程を回答者側に確認してもらいたいのであれば,まずは自分の理解に基づいて該当の問題に対する証明(或いはその一部)を書いて頂くことを強く推奨致します.

そして,その際に「誰が読んでも『何を言っているのか?』が分かる」ように論述の仕方にも注意を払って頂くとよいかもしれません.
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56367.極限と実数の連続性  
名前:    日付:2018年05月11日(金) 00時20分
このような理解の仕方で大丈夫でしょうか?
よろしくお願いします。

https://drive.google.com/file/d/17nOB2mtmCwYipXfiKVqTu_YnicOjs6C9/view?usp=drivesdk
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