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DS 数学 BBS・2
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56385.Re: 可分距離空間  
名前:鳴瀬    日付:2018年05月11日(金) 19時24分
>直線xy上に原点がある(ない)
x,y は異なる点であるとし,x,y を端点とする線分上に,という意味ですか?
それとも,x の側に延長した,あるいは y の側に延長した延長線上も含む,でもよいという意味ですか?
x,y が一致する場合での直線xyは何を指しますか?
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56311.Re: 可分距離空間  
名前:tachikawa    日付:2018年05月09日(水) 00時49分
d は R^2 上の通常ユークリッド距離、d_2 は R^2 上に新たに定義した距離で、距離空間 (R^2, d_2) が可分でないことを示したい、という感じですかね。そのように解釈した上でのヒントです。
距離空間 (R^2, d_2) が可分でないことを示すためには、次のことを示せばいいです:
x_1, x_2,... を R^2 の点列とする。このとき、(R^2, d_2) の空でない開集合 U があって、任意の m に対し x_m は U に含まれない。(☆)

さて、ざっくり言うと、開集合 U として「小さい開集合」を取ってくれば、「任意の m に対し x_m は U に含まれない」という条件が満たせるような気がします。そこで、(R^2,d_2) の開集合系がどのようなものかを、d_2 の定義に立ち返りつつ考えると、(R^2,d_2) においては、(R^2,d) では考えられないくらい「小さな」集合でさえ、開集合になりうることに気づきます。あとは、そのような開集合をうまく使って (もちろん x_m のとり方に応じて開集合 U のとり方を変える必要はある) ☆を証明するだけです。
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56309.Re: 可分距離空間  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月09日(水) 00時12分
問題文の記述が非常に不明確です.申し訳ありませんが「問題のステートメント」を正確に書いて頂いてもよろしいでしょうか?
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56308.Re: 可分距離空間  
名前:やまお    日付:2018年05月08日(火) 23時43分
問題が見づらくて申し訳ないです。
2点の直線上に原点があるかないかで
とる値が変わるということです。

この問題を解くヒントなどありましたらコメントお願いします。
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56307.可分距離空間  
名前:やまお    日付:2018年05月08日(火) 23時40分
d2(x,y)= d(x,y) (直線xy上に原点がある)
d(0,x)+d(0,y) (直線xy上に原点がない)

上のような距離空間を考えたときに
この距離空間は、可分距離空間でないことを示せ。

この距離空間は2次元で考えています。
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