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56348.Re: 微分方程式5  
名前:    日付:2018年05月10日(木) 13時40分
ぽんすれ氏さん、ご丁寧に教えてくださりありがとうございます。勉強になります。
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56302.Re: 微分方程式5  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月08日(火) 21時31分
細かな部分を考慮すると,以下の様に議論した方がよさそうな気がします.

______________________________

[解答例]
分数式(2x-y)/(x-2y)において,分母の条件よりx≠2yである.また,y=2xであると仮定すると,微分方程式より

dy/dx=(2x-2x)/(x-2・2x)=0

であるが,y=2xよりdy/dx=2が得られ,dy/dxの値に関する矛盾が生じる.よって,y≠2xである.また,x=0とすると,dy/dx=(-y)/(-2y)=1/2であり,y=x/2である.しかし,いまx≠2yであるから矛盾が生じる.よって,x≠0でなければならない.


以下,y≠2xかつx≠2yかつx≠0の下で考える.u=y/xとおくと,

y=ux.
∴dy/dx=u+x・du/dx.

いま得られた等式とu=y/xにより,

u+x・du/dx
=dy/dx
=(2x-y)/(x-2y)
=(2-u)/(1-2u)
=(u-2)/(2u-1).
∴x・du/dx
=(u-2)/(2u-1)-u
=((u-2)-u(2u-1))/(2u-1)
=-2(u^2-u+1)/(2u-1).

ところで,u^2-u+1=(u-1/2)^2+3/4>0であるから,いま得られた式の両辺に(2u-1)/(x(u^2-u+1))を乗じると,

(2u-1)/(u^2-u+1)・du/dx=-2/x.
∴∫(2u-1)/(u^2-u+1)・du/dx・dx=∫(-2)/x・dx.
∴∫(2u-1)/(u^2-u+1)・du=-2・∫dx/x.
∴log(u^2-u+1)=-2log|x|+C(Cは任意の定数).
∴log((u^2-u+1)x^2)=C.
∴(u^2-u+1)x^2=e^C.

ここで,u=y/xをいま得られた式の左辺に代入すると,

e^C
=(u^2-u+1)x^2
={(y/x)^2-y/x+1}x^2
=y^2-xy+x^2.

ところで,Cは任意の定数であるから,e^Cは任意の正の定数である.したがって,与えられた微分方程式の解は

y^2-xy+x^2=A(Aは任意の正定数).
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56291.微分方程式5  
名前:    日付:2018年05月08日(火) 09時52分
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同次形の問題ですが、このような解き方で合っていますか?
u=y/xと置いて変形していくとuが分母にくるのですが、これは問題ないのでしょうか?何か断りを入れる必要がありますか?
また、最後のところをどうすれば良いか教えてください。
よろしくお願い致します。
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