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56310.Re: コンパクト性について  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月09日(水) 00時32分
追記ですが,

>Xの任意の開被覆{Oλ}λに対して{Oλ}λの有限な部分族{Oλi}i=1,…,nが存在し、{Oλi}i=1,…,nもXを被覆する

を英語で書くと下記の様になります.もしかしたら,日本語よりも英語の方が「論理」の点でかえって把握しやすいかもしれません.

For any open covering {O_[λ]}_[λ∈Λ] of X, there exists a finite subfamily {O_[λ_[i]]}_[i=1,2,...,n] of {O_[λ]}_[λ∈Λ] such that the union ∪_[1≦i≦n]O_[λ_[i]] contains X as a subset.
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56303.Re: コンパクト性について  
名前:IT    日付:2018年05月08日(火) 22時18分
ぽんすれ氏 さんの御意見のとおりだと思います。
述語論理を正確に解読することが必要だと思います。

>・・・位相空間Xについて、Xの任意の開被覆{Oλ}λに対して{Oλ}λの有限な部分族{Oλi}i=1,…,nが存在し、{Oλi}i=1,…,nもXを被覆する
上記は正しいですが、ここで「任意の」の解釈を誤っておられるようです。

論理記号では「∀」です。 この方が正しくイメージしやすいかも知れません。
(∀ という記号は「任意の」を意味する英語“arbitrary”、または、「すべての」を意味する英語“all”、または、「どれでも」を意味する英語“any” の頭文字の大文字A をひっくり返したものです。)

英語では "every"とかかれることもあります。
A topological space is compact if every open cover of X has a finite subcover.
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56301.Re: コンパクト性について  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月08日(火) 19時45分
>位相空間Xに対してX自身は開被覆ではあるけれど、それだけでコンパクト性についてはまでは言及できない、ということでしょうか。
そういうことです.質問内容は,コンパクト性の概念というよりは「述語論理を正確に解読出来ているか否か」という点に起因している気がします.
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56297.Re: コンパクト性について  
名前:ast    日付:2018年05月08日(火) 15時53分
くるくるさんの論法は, 類例として f(x) = 0 (x < 0), 1 (x ≥ 0) という函数の原点における連続性 "任意の ε > 0 に対し適当な δ が存在して |x| < δ ならば |f(x) − 1| < ε とできる" の可否を考えるとき, "ε = 2 ととれば連続と言える" と言っているのと同じことになっていませんか?

# それとも X が位相空間ならばその任意の開被覆が必ず X 自身を元に持つ (だからそれを有限分被覆にとればいい) と言っている?
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56296.Re: コンパクト性について  
名前:くるくる    日付:2018年05月08日(火) 14時16分
ご回答ありがとうございます。
私が勘違いしていたのはあくまで開被覆までの話をコンパクト性まで含めて考えてしまっていることということでしょうか。
位相空間Xに対してX自身は開被覆ではあるけれど、それだけでコンパクト性についてはまでは言及できない、ということでしょうか。
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56290.Re: コンパクト性について  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月08日(火) 09時42分
>ここで{Oλ}λとしてX自身を取ってくればどんな位相空間もコンパクトと言えてしまうと思うのです。
それは正しくないです.位相空間Xのコンパクト性は「どの様なXの開被覆を選んだとしても,その開被覆からXの適当な有限開被覆を与えられる」というものです.一方,上記は「あるXの開被覆に関する話」です.
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56279.コンパクト性について  
名前:くるくる    日付:2018年05月08日(火) 01時47分
いつもお世話になっております。
極めて初歩的な質問だと思うのですが、どうかお付き合いください。
タイトルにある通り、位相空間のコンパクト性についてなのですが、コンパクトの定義として

位相空間Xについて、Xの任意の開被覆{Oλ}λに対して{Oλ}λの有限な部分族{Oλi}i=1,…,nが存在し、{Oλi}i=1,…,nもXを被覆する

と認識しているのですが、ここで{Oλ}λとしてX自身を取ってくればどんな位相空間もコンパクトと言えてしまうと思うのです。
もちろんそんなことはありえないわけですが…。

コンパクトの定義自体が直感的に理解しづらく、上記の勘違いはどこで起こっているか、ご指摘お願いいたします。
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