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DS 数学 BBS・2
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56386.Re: 任意個の要素の和集合  
名前:カッティ    日付:2018年05月11日(金) 20時17分
ぼんすれ氏様、ありがとうございます。
参考ページ、少し拝見させていただきましたが、難しそうでした。
また、可能であれば、挑戦してみたいと思います。
(馬鹿猫/質問者)
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56382.Re: 任意個の要素の和集合  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月11日(金) 14時52分
概念を一つずつ整理されるとよいかもしれません.まず,和集合

∪_[n∈N]a_[n]

は自然数で添え字付けられている集合族{a_[n]}_[n∈N]の和集合です.一方,集合

∪_[n=1,∞]a_[n]は

集合列{∪_[n=1,k]a_[n]}_[k≧1]の極限

lim_[k→∞]∪_[n=1,k]a_[n]

のことです.また,この極限集合を∪_[n≧1]a_[n]と表すこともあります.そして,今回の場合は∪_[n=1,∞]a_[n]と∪_[n∈N]a_[n]は一致します.


さて,集合族の和集合と集合列の極限ですが,概念としては両者は異なるものです.実際,集合族の和集合の定義は

[定義]
{S_[λ]}_[λ∈Λ]を集合族とする時,この集合族の和集合∪_[λ∈Λ]S_[λ]を

∪_[λ∈Λ]S_[λ]:={x|あるλ∈Λが存在して,x∈S_[λ]である}

の様に定義する.

として与えられますが,ここでΛには順序の概念はなくてもよいです(集合族の共通部分に関しても同様です).一方で集合列の極限ですが,一般に列を考えるには列を添え字付ける集合が何らかの半順序集合である必要があり,列の収束を考えるには「ネット」や「フィルター」といった概念が要請されます(これ以上の話は位相空間論の話になりますので,割愛させて頂きます).


以上の様に,集合族の和集合と集合列の極限は概念上異なりますが,考えている状況によっては両者が導出結果として一致することはあります.
__________________________________

[追記]
読めるか否かはさておき,列の収束に関する参考ページを見つけたのでご紹介しておきます.
http://unununum.hatenablog.com/entry/2017/08/11/194942
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56369.Re: 任意個の要素の和集合  
名前:カッティ    日付:2018年05月11日(金) 08時14分
U_[i=1〜∞] a_[i]
は円周率を含むと思うのですが、∞があるとおかしい気がするので、
lim[N→∞] U_[i=1〜N] a_[i]
だと思いました。

開区間の和集合
∩_[i=1〜∞] (-1/n,1/n)={1}
は閉区間になりますが、∞の記号を使わなくても
∩_[i∈N] (-1/n,1/n) ={1}
で問題ないと思ったのが背景にあります。

よろしくお願いいたします。
(馬鹿猫/質問者)
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56365.Re: 任意個の要素の和集合  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月10日(木) 21時35分
>添え字が∞を含まないと考えると、すっきりするような気がするのです。
その場合では添え字は自然数です."∞"は自然数ではありません.

>添え字は自然数でも実数でも(極限をとらない限り)∞を含まないという認識で
>間違っておりませんでしょうか。
極限をとらない限り"∞"を含まないとはどういうことでしょうか?
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56355.Re: 任意個の要素の和集合  
名前:カッティ    日付:2018年05月10日(木) 16時35分
すみません。同じことの質問になりますが、円周率を任意桁で切ったもの
a_[1]={3},a_[2]={3.1},a_[3]={3.14},......
と考えたとき、これらの和集合 U[i∈N] a_[i] を考えたとき、
添え字が∞を含まないと考えると、すっきりするような気がするのです。

添え字に実数がくると、無限個の和集合も考えられると思いますが、
添え字は自然数でも実数でも(極限をとらない限り)∞を含まないという認識で
間違っておりませんでしょうか。
(馬鹿猫/質問者)
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56267.Re: 任意個の要素の和集合  
名前:カッティ    日付:2018年05月06日(日) 18時50分
ありがとうございます。理解できました。
(x∈∩_[λ∈Λ]X_[λ] ⇒ x∈Xなので∩_[λ∈Λ]X_[λ]⊆X)
(馬鹿猫/質問者)
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56265.Re: 任意個の要素の和集合  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月06日(日) 18時31分
>∩_[λ∈Λ]X_[λ]∈P(X)も同様に成り立ちますでしょうか。
はい,成立します.こちらも定義に基づいて議論を行えばよいです.元x∈∩_[λ∈Λ]X_[λ]を任意に選びます.この時,共通部分の定義より,任意の元λ∈Λに対してx∈X_[λ]が成立します.ところで,X_[λ]⊆X(λ∈Λ)であるから,x∈X_[λ]⊆X(λ∈Λ)成り立ちます.よって,x∈Xであり,従って,∩_[λ∈Λ]X_[λ]⊆Xの成立が言えます.この時,冪集合の定義より∩_[λ∈Λ]X_[λ]∈P(X)が成立します.
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56263.Re: 任意個の要素の和集合  
名前:カッティ    日付:2018年05月06日(日) 18時22分
ぼんすれ氏様ありがとうございます。
「Xを集合とする.{X_[λ]}_[λ∈Λ]をXの部分集合族とする時,
∪_[λ∈Λ]X_[λ]∈P(X)である.ここで,P(X)はXの冪集合である.」
理解できました。

あつかましいですが、もうひとつ、
∩_[λ∈Λ]X_[λ]∈P(X)も同様に成り立ちますでしょうか。

ご教授よろしくお願いいたします。
(馬鹿猫/質問者)
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56261.Re: 任意個の要素の和集合  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月06日(日) 17時51分
>有理数Qの冪集合P(Q)を考えた時、
>任意個の部分集合の和集合は再びP(Q)に含まれるかどうか
これが「{Q_[λ]}_[λ∈Λ]をQの部分集合族とする.この時,和集合∪_[λ∈Λ]Q_[λ]はP(Q)の元か?」ということであれば,答えはYESです.そして,この問いはQに限ったものではないです.

より一般に「Xを集合とする.{X_[λ]}_[λ∈Λ]をXの部分集合族とする時,∪_[λ∈Λ]X_[λ]∈P(X)である.ここで,P(X)はXの冪集合である.」も成立します.実際,

∪_[λ∈Λ]X_[λ]∈P(X)⇔∪_[λ∈Λ]X_[λ]⊆X

により∪_[λ∈Λ]X_[λ]⊆Xを示せばよいですが,これは「任意の元x∈∪_[λ∈Λ]X_[λ]を選んだ時,和集合の定義より適当な元λ_[0]∈Λが存在し,x∈X_[λ_[0]]⊆Xが成り立つ.よって,x∈Xである.」により,∪_[λ∈Λ]X_[λ]⊆Xの成立が言えます.


>例えば、円周率を任意桁数で区切ったものの和集合
>∪{3},{3.1},{3.14},......
>は、P(Q)に含まれない気がします。
これに関しては,n=0,1,2,...に対して

a_[n]=(円周率の「小数第n位まで」のもの)

として和集合∪_[n≧0]{a_[n]}を考えると,任意の元a∈∪_[n≧0]{a_[n]}を選んだ時,ある番号n_[0]≧0が存在し,

a∈{a_[n_0]}⊆Q.
∴a∈Q.

よって,∪_[n≧0]{a_[n]}⊆Q,即ち,∪_[n≧0]{a_[n]}∈P(Q)が成立します.
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56259.Re: 任意個の要素の和集合  
名前:カッティ    日付:2018年05月06日(日) 16時35分
とんちんかんなことを言っていたらすみません。
質問を少し変更します。
有理数Qの冪集合P(Q)を考えた時、
任意個の部分集合の和集合は再びP(Q)に含まれるかどうか
教えていただきたいです。

例えば、円周率を任意桁数で区切ったものの和集合
∪{3},{3.1},{3.14},......
は、P(Q)に含まれない気がします。

よろしくお願いいたします。
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56258.Re: 任意個の要素の和集合  
名前:TANTAN麺    日付:2018年05月06日(日) 15時44分
失礼します。
集合Aの和集合∪Aとは、集合Aの任意の要素aも集合であって、それらa達すべての要素を寄せ集めた集まりを一つの集合とみなしたものです。

∪A:={x|∃a∈A[x∈a]}.



例えば、

A={{1,2},{3,4},{5,6}}

とすれば、Aの要素は{1,2},{3,4},{5,6}という3つの集合であり、このときのAの和集合∪Aは、これら3つの集合の要素となるすべてをひとまとめにした集合のことで、

∪A={1,2,3,4,5,6}

となります。

カッティさんの言っているように有理数の全体の集合Qから任意個の要素を取り出して一つの集合とみなしたい場合は、普通は和集合ではなく部分集合といいます。
あるいは、n個の要素を取り出すならn組ですね。

確かに、有理数自体を定数ではなく集合とみなす方法論もありますが、カッティさんの文脈ではそういう解釈では無さそうです。


細かいことですが念の為。
(馬鹿猫)
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56254.Re: 任意個の要素の和集合  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月06日(日) 13時09分
そもそもQの中から要素を選んでいるので,選ばれたものはどれも有理数であり,それらの中には無理数は含まれないのではないでしょうか.
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56253.任意個の要素の和集合  
名前:カッティ    日付:2018年05月06日(日) 12時41分
有理数全体の集合Qから 任意個の要素を取り出して和集合にしたとき、
それは無理数を含むでしょうか。(Qからはみ出すでしょうか)

ご教授のほどよろしくお願いいたします。
(馬鹿猫/質問者)
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