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56266.Re: 留数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月08日(火) 23時18分
ふと画像を見返してみたところ,画像からはpが何であるかを判別出来ないですね.私はてっきりpを整数と思っていたので

・No.56235,
・No.56239,
・No.56240,
・No.56242

の様な回答を付けてしまっておりました.もしpが整数でない場合は,私のこの一連の回答は無視して頂き,

(-1)^{p-1}=(e^{πi})^{p-1}=e^{(p-1)πi}

の様に理解して頂ければと思います.(最後の"="ですが,一般には複素数の複素数乗は多価なので,より正確には「偏角の範囲を0≦θ<2πなどの様に設定して(e^{πi})^{p-1}を一価とみている」と思われます.いわゆる,主値です.)
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56242.Re: 留数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月05日(土) 22時50分
>これはド・モアブルの定理によるものなのですか?それともこの等式自体が定理なんですか?
後者の方です.数学的帰納法で示す場合は,証明は下記の様になります.


a)m≧0の場合
m=0の時は,cos(0・π)=cos0=1=(-1)^0により,与えられた式は成立する.また,m=kの時に与えられた式が成立すると仮定すると,m=k+1の時は

cos((k+1)π)
=cos(kπ)cosπ-sin(kπ)sinπ
=(-1)^k・(-1)-0・0
=(-1)^{k+1}

により,m=k+1の時も与えられた式は成立する.よって,m=0,1,2,...に対して与えられた式は成立する.
b)m<0の場合
m=-n(nは正の整数)と表すと,

cosmπ
=cos((-n)・π)
=cos(nπ)
=(-1)^n
=(-1)^{-m}
=1/(-1)^m
=(-1)^m

であるから,cos(mπ)=(-1)^mが成立する.


上記を見て頂ければお分かりかと思いますが,ここではド・モアブルの定理は使われておりません.また,

>或いは単純に
>
>・mが奇数の時,cos(mπ)=-1=(-1)^m
>・mが偶数の時,cos(mπ)=1=(-1)^m
>
>の様に考えてもよいです.

の様な証明でもド・モアブルの定理は使われておりません.
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56241.Re: 留数  
名前:マルムシ    日付:2018年05月05日(土) 22時36分
(-1)^m=cos(mπ)の関係を用いてとありますが、これはド・モアブルの定理によるものなのですか?それともこの等式自体が定理なんですか?
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56240.Re: 留数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月05日(土) 22時14分
>(-1)^m=cos(mπ)(mは整数)
これは数学的帰納法を用いて示してもよいですし,或いは単純に

・mが奇数の時,cos(mπ)=-1=(-1)^m
・mが偶数の時,cos(mπ)=1=(-1)^m

の様に考えてもよいです.
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56239.Re: 留数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月05日(土) 22時00分
>-1=cosπ+i・sinπからドモアブルの定理より
>(-1)^{p-1}
>=cos((p-1)π)+i・sin((p-1)π)
>=e^{(p-1)πi}
>ってことですか?
その理解でもよいです.また,私が想定していた考えは,(-1)^m=cos(mπ)(mは整数)であることを用いて

(-1)^{p-1}
=cos((p-1)π)
=cos((p-1)π)+i・0
=cos((p-1)π)+i・sin((p-1)π)

の様に式変形するというものです.
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56237.Re: 留数  
名前:マルムシ    日付:2018年05月05日(土) 21時27分
-1=cosπ+i・sinπからドモアブルの定理より
(-1)^{p-1}
=cos((p-1)π)+i・sin((p-1)π)
=e^{(p-1)πi}
ってことですか?

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56236.Re: 留数  
名前:マルムシ    日付:2018年05月05日(土) 21時14分
ひとつめの式変形からわかりません...
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56235.Re: 留数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月05日(土) 20時53分
それでは,次の計算式

(-1)^{p-1}
=cos((p-1)π)
=cos((p-1)π)+i・0
=cos((p-1)π)+i・sin((p-1)π)

が成り立つことは理解出来ますか?
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56233.Re: 留数  
名前:マルムシ    日付:2018年05月05日(土) 20時30分
(-1)^{p-1}
=cos((p-1)π)+i・sin((p-1)π)
の部分がなぜだか分からないので教えてください

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56232.Re: 留数  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年05月05日(土) 20時10分
留数の計算をすると,

Res(z^{p-1}/(1+z);-1)
=lim_[z→-1]{(1+z)・z^{p-1}/(1+z)}
=lim_[z→-1]z^{p-1}
=(-1)^{p-1}

となりますが,

(-1)^{p-1}
=cos((p-1)π)+i・sin((p-1)π)
=e^{(p-1)πi}

を考慮すると,Res(z^{p-1}/(1+z);-1)=e^{(p-1)πi}が成立します.
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56227.留数  
名前:マルムシ    日付:2018年05月05日(土) 19時19分
留数がなぜこの値になるのか教えてください
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