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56182.Re: 微分  
名前:X    日付:2018年05月03日(木) 21時07分
問題の関数を
y=(e^x)/(1-x) (A)
と解釈して方針を。

一般にn回微分可能な関数f(x),g(x)に対し
y=f(x)g(x)
と置くと、積の微分により
y'=f'g+fg' (B)
y"=f"g+f'g'+f'g'+fg"
=f"g+2f'g'+fg" (C)
同様に
y"'=f"'g+3f"g'+3f'g"+fg"' (D)
(C)(D)の右辺の係数、左辺の微分の階数をそれぞれ
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3(a^2)b+3ab^2+b^3
の右辺の係数、左辺の指数と見比べてみて下さい。
よく似ていませんか?

このアナロジーから、
(d^n/dx^n)(fg)=Σ[k=0〜n](nCk){(d^k/dx^k)f}{{d^(n-k)}/dx^(n-k)}g (E)
(つまり二項定理からの類推です。)
が類推されますが、実際、(E)は成立することが分かっています。
(解析学の教科書の微分の項目を復習してみて下さい。
どこかに(E)と同様な公式が書いてあるはずです。)

(E)を踏まえて(A)を
y=(e^x){1/(1-x)}
と見て、n階導関数を求めてみましょう。
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56181.微分  
名前:ねむねむ    日付:2018年05月03日(木) 15時24分
y=e^x/(1-x)のn次(n≧1)の導関数を求めよ。です
解答を見てもよくわからなかったのでわかりやすく教えていただきたいです
よろしくお願いします
(大学 1 年)
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