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56156.Re: 図形の面積と曲線の長さの問題です  
名前:    日付:2018年05月02日(水) 11時29分
WIZさん、Xさん、ご返信いただきありがとうございます!

WIZさん、計算過程までとても親切に書いてくださりありがとうございます。ご指摘の通り見直したところ計算ミスをしていました。見立てを立てて検算をするよう癖をつけたいと思います。
また、Xさんが貼られているサイトなどもこれから参考にさせていただきます。

お二人ともありがとうございました!またよろしくお願いします。
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56153.Re: 図形の面積と曲線の長さの問題です  
名前:WIZ    日付:2018年05月01日(火) 21時49分
(2)について、私の計算方法は見通しが悪く、煩雑ですね。
以下の方法の方が若干簡単かも。

{長さ} = ∫[0, 1]{√(1+4(x^2))}dx

t+2x = √(1+4(x^2))と置換します。
⇒ (t+2x)^2 = 1+4(x^2)
⇒ t^2+4xt = 1
⇒ x = (1-t^2)/(4t) = (1/4)(1/t-t)
⇒ dx = (1/4)(-1/t^2-1)dt

また、√(1+4(x^2)) = t+2x = t+2(1/4)(1/t-t) = (1/2)(1/t+t)
tの積分範囲は、[1, √5-2]となります。

{長さ} = ∫[0, √5-2]{(1/2)(1/t+t)}{(1/4)(-1/t^2-1)dt}
= (-1/8)∫[0, √5-2]{(1/t+t)(1/t^2+1)}dt
= (-1/8)∫[0, √5-2]{1/t^3+2/t+t}dt
= (-1/8)[-(1/2)/t^2+2log(t)+(t^2)/2]_[0, √5-2]
= (1/16)[1/t^2-4log(t)-t^2]_[0, √5-2]
= (1/16){(√5+2)^2-4log(√5-2)-(√5-2)^2}
= (1/16){8√5-4log(√5-2)}
= (1/4){2√5-log(√5-2)}
= (1/4){2√5+log(√5+2)}
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56152.Re: 図形の面積と曲線の長さの問題です  
名前:    日付:2018年05月01日(火) 20時31分
横から失礼します。
>>WIZさんへ
(2)についてですが、
∫[0→1]√(1+4x^2)dx
を二項積分と見て計算したところ、
WIZさんの結果と一致しました。

Wolframalphaでの計算結果
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%5B%E2%88%9A(1%2B4x%5E2),%7Bx,0,1%7D%5D
も同じ値
((注)見かけは異なりますが
arcsinh2=log(2+√5)
です。)
ですので、多分問題ないかと。
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56151.Re: 図形の面積と曲線の長さの問題です  
名前:WIZ    日付:2018年05月01日(火) 21時40分
べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
logは自然対数を表すものとします。

問題の曲線は頂点が(0, 1)で、x切片が(-1, 0)と(1, 0)となる放物線です。

(1)
{面積} = ∫[-1, 1](1-x^2)dx
= [x-(x^3)/3]_[-1, 1]
= (1-1/3)-(-1-(-1/3))
= 4/3

(2)
{長さ} = ∫[0, 1]{√(1+(-2x)^2)}dx
= ∫[0, 1]{√(1+4(x^2))}dx

2x = tan(t)と置換すると、dx = dt/ (2(cos(t)^2))です。
0 ≦ 2x ≦ 2よりtの積分範囲は0 ≦ t ≦ arctan(2) < π/2となります。

また、0 ≦ t ≦ arctan(2) < π/2において、
cos(t) > 0ですから、√(1+4(x^2)) = √(1+tan(t)^2) = 1/cos(t)

{長さ} = ∫[0, arctan(2)]{1/cos(t)}{dt/ (2(cos(t)^2))}
= (1/2)∫[0, arctan(2)]{1/(cos(t)^3)}dt
= (1/2)∫[0, arctan(2)]{cos(t)/(cos(t)^4)}dt
= (1/2)∫[0, arctan(2)]{cos(t)/((1-sin(t)^2)^2)}dt

更に、u = sin(t)と置換すると、du = cos(t)dtです。
また、0 ≦ t ≦ arctan(2) < π/2において、sin(t) > 0です。
tan(t) = sin(t)/cos(t) = 2のとき、cos(t) = (1/2)sin(t)より、
1 = cos(t)^2+sin(t)^2 = (1/^2+1)sin(t)^2 ⇒ sin(t) = 2/√5

{長さ} = (1/2)∫[0, 2/√5]{1/((1-u^2)^2)}du

部分分数に分解
1/(1-u)+1/(1+u) = 2/(1-u^2)
⇒ 4/((1-u^2)^2) = 1/((1-u)^2)+2/((1-u)(1+u))+1/((1+u)^2)
⇒ 4/((1-u^2)^2) = 1/(1-u)+1/(1+u)+1/((1-u)^2)+1/((1+u)^2)

{長さ} = (1/8)∫[0, 2/√5]{1/(1-u)+1/(1+u)+1/((1-u)^2)+1/((1+u)^2)}du
= (1/8)[-log(1-u)+log(1+u)+1/(1-u)-1/(1+u)]_[0, 2/√5]
= (1/8)[log((1+u)/(1-u))+2u/(1-u^2)]_[0, 2/√5]
= (1/8){log((1+2/√5)/(1-2/√5))+2(2/√5)/(1-4/5)}
= (1/8){log((√5+2)/(√5-2))+(4/√5)/(1/5)}
= (1/8){log(((√5+2)^2)/(5-4))+4√5}
= (1/4){log(√5+2)+2√5}

(2)の結果がスレ主さんと不一致ですが、私の計算に間違いがあるかもしれません。

但し、求める放物線の一部の長さは、
{(0, 1)-(1, 0)の線分の長さ} < {長さ} < {(0, 1)-(1, 1)の線分の長さ}+{(1, 1)-(1, 0)の線分の長さ}
⇒ √2 < {長さ} < 2
ですので、私の計算結果は上記不等式を満たしますが、
スレ主さんの計算結果は上記不等式を満たしませんので確実に計算間違いしていると思います。
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56150.図形の面積と曲線の長さの問題です  
名前:    日付:2018年05月01日(火) 06時29分
解いたのですが模範解答がないので合っているか確認したいです。お願いします!

問)曲線y=1-x^2について以下の問いに答えよ
(1)x軸とこの曲線とで囲む図形の面積
(2)この曲線の第一象限における長さ

僕の答えは次のようになりました。
(1)4/3
(2)1/4{2√5+log(1+(2√5)/5)}

特に(2)はあまり自信がないです。分かる方よろしくお願いします。
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