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DS 数学 BBS・2
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56194.Re: (untitled)  
名前:    日付:2018年05月04日(金) 20時55分
ありがとうございました。
https://drive.google.com/file/d/1tgm--y8uwhoSf0jBzu0H2cBHqlMnMkTZ/view?usp=drivesdk
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56115.Re: (untitled)  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年04月29日(日) 00時06分
>一つ目の?の二項定理と帰納法で求めるところが分かりません。
正しくは「二項定理或いは帰納法のいずれかの方法により,該当の不等式が成り立つことを示す」です.

さて,εを任意の正数とすると,n>1に対して二項定理を用いれば,

(1+ε)^n
=1+n_C_1・ε+n_C_2・ε^2+…+n_C_n・ε^n
>n_C_2・ε^2(∵展開後の式の各項が正)
=n(n-1)ε^2/2

が成立します.或いは,これをnに関する数学的帰納法で示すことも出来ます.実際,n=kの時に不等式(1+ε)^n>1+nε+n(n-1)ε^2/2(n>1)が成立すると仮定すれば,

(1+ε)^{k+1}
=(1+ε)・(1+ε)^k
>(1+ε)・(1+ kε+k(k-1)ε^2/2)
=1+(k+1)ε+(k+1)kε^2/2+k(k-1)ε^3/2
>1+(k+1)ε+(k+1)kε^2/2

が成立するため,これとn=1の時の結果を合わせると,nに関する数学的帰納法により

(1+ε)^n>1+nε+n(n-1)ε^2/2(n>1)

が成り立ちます.この時,n>1に対して

(1+ε)^n>1+nε+n(n-1)ε^2/2>n(n-1)ε^2/2

が言えて,元々の証明すべき不等式の成立が示せます.


>二つ目のもどのようにこのような不等式に持って行くのか分かりません。
n>2/ε^2+1ならば

1<n<n(n-1)ε^2/2<(1+ε)^n.
∴1<n<(1+ε)^n.
∴1=1^{1/n}<n^{1/n}<{(1+ε)^n}^{1/n}=1+ε.

よって,1<n^{1/n}<1+εがn>2/ε^2+1の時に成立します.
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56108.(untitled)  
名前:    日付:2018年04月28日(土) 09時15分
一つ目の?の二項定理と帰納法で求めるところが分かりません。
二つ目のもどのようにこのような不等式に持って行くのか分かりません。
よろしくお願いします。

https://drive.google.com/file/d/1lsw1wZ01idbbFYW2PGa48Oaj3WlBGnnG/view?usp=drivesdk
fp7cdb8af8.gnma102.ap.nuro.jp (124.219.138.248)
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「56108.(untitled)」への返信

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