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56183.Re: 八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う  
名前:asifsound    日付:2018年05月05日(土) 11時06分
■ 補足です。

■ もう一つの ee, rr 比率
ee = 4.309198...
rr = 5.473213...

の八角形も有力な解である。

軸の高さのブレが小さいチェビシェフ・リンクとして、4:5:2 の比率以外の比率の解析解が存在する(長さ2のペダル棒の角度が、垂直の時と、水平の時とで、それぞれの中点(ペダルの軸)の高さが等しい、の条件を満たす解である。4:5:2 の標準では、ペダル棒が垂直の時、左のクロス縦バーも垂直だが、汎用解は、左の縦バーは垂直では無く、傾いている。地面と直角では無い。)。 

高さのブレの誤差は、 4.4708 to 4.4769 --- under 0.15% [+ 0.0061/ 4.4 err order] で、何と 4:5:2 の標準のチェビシェフ・リンクのブレ誤差 (0.24%) よりも小さく、軸の軌跡はより直線に近い。

但し、しわ寄せとして、地面の足元の2毎枚板の角度が 180°では無く、177.41°であり、少し上り坂になっている。なので、次の板に乗り換える時、3°の傾きの上に乗ると、重みですぐ 0°の傾きになり、今までの板が 0°から 3°と傾く。つまり、ギッタンバッコンが発生する。この時、軸は棒高跳びの半径の棒が約 3°回転する様なもので、少し上に上がり直ぐ下がる。 3°なのでこの変化は極微である。
内接円が、3°回転し、軸が、同じ高さで「高さ×3°」前に移動する形に見える。

このとき、板の継ぎ目は 3 °の角があるので、地面には下駄で歩いた様な跡が残るかも知れない。
また、農業用トラクターなどでは、逆に角が有った方が良いかも知れない。また、下駄で道を歩くのは禁止されていない。

良く分からないが、177°角張っているということは、360°を 3°単位に分割し、円を 120 角形 (360/3=120) で模擬したのと同じの意味かも。だとすると、120 角形はの高さのガタは、半径を r とすると、r と r×cos(3°)の誤差、つまり比の精度は、 cos(3°) = 0.9986295 = 99.86295%の精度、0.1370% の誤差。瞬間的にこの分上がって、すぐ戻る。高さのブレ 0.15% とほぼ同じ。
 --- 5:4:2 比の普通のチェビシェフ・リンクの誤差 0.24% よりも良い。問題ナシ。



https://www.geogebra.org/m/kq8dr2JY
へ行くと DEMO が見られる。

http://www5d.biglobe.ne.jp/~the_imai/etymology/Trace.htm
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56172.Re: 八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う  
名前:asifsound    日付:2018年05月03日(木) 01時34分
チェビシェフ・リンク機構を8個つなげると、軸の高さがほぼ一定(疑似直線)な八角形車輪が得られたが、

実は、正確な直線を描画する純粋直線描画リンク機構もある。
チェビシェフのリンク機構は4本の棒なのに対し、必要本数が増える。
有名なものは、3つある。
@ポースリエのリンク機構 [Peaucellier linkage] ---- 8本棒
Aハートの反転機 [Hart's Inversor] ---- 6本棒
Bハートの A-frame [Hart's A-frame] ---- 6本棒 

これらを使用すると、同じロジックで、軸の高さがブレ無い5角形以上の車輪が容易に作成出来ることが分かった(四角形は、内接円の高さがゼロとなるので駄目)。
そのサンプル図を載せた。

多角形に内接する内接円が、常に地面に接しながら転がって進むイメージ。
地面に無い辺と内接円とは接しておらず離れていても良い所がミソ。
[点の位置が直線棒と一定距離離れた平行線上とその片側に常にあることを保証するリンク機構。棒のみで実現可能。円も不用。GSH' が折れ線棒なのが効いている。



■ Review 用に、チェビシェフ・アメーバの八角形車輪のアニメも Tag img で、おまけとして載せた。



★ Tag IMG と、添付 とは、どう違う?。 --- 違うね。しかし、 IMG の SRC は URL 指定ですね。
★ 編集すると、タイトルの色指定が、本文の色指定に化けるネ。 bug ですね。
http://www5d.biglobe.ne.jp/~the_imai/etymology/Trace.htm
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56122.Re: 八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う  
名前:asifsound    日付:2018年04月29日(日) 03時26分
Original Size: 452 x 353, 18KB Original Size: 428 x 344, 222KB

■らすかる氏の mess#56099 の数式の算出法

> h=√{{x+2√(x-1)sinθ-(cosθ)^2}{x^2-x-2√(x-1)sinθ}/{x+2√(x-1)sinθ}}
> .....
> # 念のためですが、この計算結果の正当性は保証できません。


「らすかる」氏の論理は、正しいです。

この数式の求め方を解説します。
図は、チェビシェフ・リンクの前回と同じ添付図。
---- 図は、クリックすると鮮明図が見れる。
また、x^2 の表記を x^と略す。Θは T で代行。(cosT)^2 は cos^T と略す。
休憩用の図として、「八角形車輪」のアニメも再掲した。

A=(sinT,h+cosT)
B=(-sinT,h-cosT)

H'C=√{x^-(h-cosT)^}
EH=√{x^-(h+cosT)^}
HH'= 2sinT
CE=√(x^-(x-2)^) = 2√(x-1)


CE=H'C+EH-HH' ---- @
つまり、
2√(x-1) = √{x^-(h-cosT)^} + √{x^-(h+cosT)^} - 2sinT --- A

命題:
Aから、h = h(x,T) の関数を求めること。h に付いた√を無くすこと。
方針:2回、2乗すると√ が無くなる。---力ずくでやる。根気必要。かなり疲れる。
まず、全体2乗
4(x-1) = {x^-(h-cosT)^} + {x^-(h+cosT)^} + (-2sinT)^
+2 [√{x^-(h-cosT)^} × √{x^-(h+cosT)^}]
+2[√{x^-(h-cosT)^} + √{x^-(h+cosT)^}](-2sinT)

ここで、√a ×√b = √ (a*b) を利用。
[√{x^-(h-cosT)^} + √{x^-(h+cosT)^}] = 2√(x-1) + - 2sinT も利用。

↓↑
2 [√{x^-(h-cosT)^} × √{x^-(h+cosT)^}] =
4(x-1)
- [{x^-(h-cosT)^} + {x^-(h+cosT)^} + (-2sinT)^]
- 2[2√(x-1) + - 2sinT] (-2sinT)

↓↑
また、左右2乗する。 これで、h を中に持つ√ は、無くなった。
4 {x^-(h-cosT)^}{x^-(h+cosT)^} = [
4(x-1)
- [{x^-(h-cosT)^} + {x^-(h+cosT)^} + (-2sinT)^]
- 2[2√(x-1) + - 2sinT] (-2sinT)
]^ ----- B

↓↑  h に関して整理する。

左辺 = h^4 -2(x^+cos^T)h^ +(x^-cos^T)^
右辺 = h^4 +2[-x^+2x-1 +sin^T +4√(x-1)sinT]h^ +[-x^+2x-1 +sin^T +4√(x-1)sinT]^

移項すると h^4 が消え、 h^ の1次式。
↓↑
(-2)[2x +4√(x-1)sinT]h^ +[2x-2+2sin^T +4√(x-1)sinT][2x^ -2x -4√(x-1)sinT] =0

これより、
h^= [2x-2 +2sin^T +4√(x-1)sinT][2x^ -2x -4√(x-1)sinT] / (2) [2x +4√(x-1)sinT]
=[x-1 +sin^T +2√(x-1)sinT][x^ -x -2√(x-1)sinT] / [x +2√(x-1)sinT]

つまり、
h= √ {[x-1 +sin^T +2√(x-1)sinT][x^ -x -2√(x-1)sinT] / [x +2√(x-1)sinT]}
=√{[x +2√(x-1)sinT -cos^T][x^ -x -2√(x-1)sinT] / [x +2√(x-1)sinT]}

★ My 感想
らすかる氏 は、かなり優秀である。
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56107.Re: 八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う  
名前:らすかる    日付:2018年04月28日(土) 08時42分
> しかし、アニメgif の一画像を抜き出していますが、スゴイ技ですね。
> tool があるのでしょうかね。お手数をお掛けしまして、申し訳ありませんでした。

toolは何も持っていませんので、タイミングを見計らって
Ctrl+PrintScreenを押して画面全体をコピーし、ペイントでトリミングしました。
もしアニメgifをバラすようなtoolを持っていたら
ang=4でなくang=0の図を使っていたと思います。
たまたまコピーしたタイミングがang=4でした。

> ★ この BB には、プレビュー機能が無いのか?。

ないと思います。

> ★ メッセージ番号の前のクリックすると☑に変わる四角の☐のアイコン
> は、何の為にあるのか?

投稿時に「投稿KEY」を入力していた場合、
そのチェックボックスをチェックして
ページの下にある「投稿KEY」に投稿時に入力した文字列を入力し、
右の「編集」または「削除」を押すと自分の記事の編集や削除ができます。

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56105.Re: 八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う  
名前:asifsound    日付:2018年04月28日(土) 07時17分
Original Size: 452 x 353, 18KB

>この図からは、Aが円の中心であるようには見えないですね。

申し訳ありません。青▲ の真横に A(0, 4.16741) を表させると、線とぶつかって見にくくなるので、ズート上に表示したのですが、まずかったですね。
すいません。

>> 止まっている図を添付してくれませんか。
>そちらから提供して頂きたかったです。

そこまで想定していませんでした。

しかし、アニメgif の一画像を抜き出していますが、スゴイ技ですね。
tool があるのでしょうかね。お手数をお掛けしまして、申し訳ありませんでした。

>計算で出た結果ですから、この式の意味を理解しようと考えるのは
やめた方がよいと思います。

図の意図がわかったので、理解できました。
私の解説図を添付します(クリックすると、より鮮明な図が見れます)
意図が分かれば、式自身は易しいものでした。

この式は、八角形車輪用というものではなく、チェビシェフ・リンク自身の性質を示す式ですね。
高さを固定すると、底辺の長さがブレる、を説明したもの。
次式の底辺の長さを固定すると、高さがブレると対のもの。

この BB の質問。
★ この BB には、プレビュー機能が無いのか?。
★ メッセージ番号の前のクリックすると☑に変わる四角の☐のアイコン
は、何の為にあるのか?
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56104.Re: 八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う  
名前:らすかる    日付:2018年04月28日(土) 03時20分
Original Size: 429 x 343, 29KB

> 1. ang=4 の図、とは何ですか?
> アニメーションのスライド棒の値 の ang が 4
> のペダルの赤丸B が真下にある時ですか?
その通りです。

> 2. 点A, B は、ペタルの両端の様ですが、
> 私のアニメーションの図だと、
> 点B, B' です。 また、点A は▲印の円の中心(軸の位置)です。
添付のang=4の図ではペダルがA,Bに見えましたので
そのように判断しました。
この図からは、Aが円の中心であるようには見えないですね。

> 3. CE の長さ、の意味も、どこを指しているのか分かりません。
添付の図をご覧下さい。
この図ではCはx軸上の正の部分にあり(座標は(4.08285,0))、Eは原点にあります。

> √{(1+cosθ)(2x-1-cosθ)}+√{(1-cosθ)(2x-1+cosθ)}-2sinθ
> の意味も、理解出来ません。
> 辺の長さが、√(〜) + √(〜) の形と言うのも、理解に苦しみます。
計算で出た結果ですから、この式の意味を理解しようと考えるのは
やめた方がよいと思います。

> 4. h=√{{x+2√(x-1)sinθ-(cosθ)^2}{x^2-x-2√(x-1)sinθ}/{x+2√(x-1)sinθ}}
> も、意味不明。
ang=4の図からペダルを90°回転するまでの間で
円の中心から地面までの距離がどう変化するかを表した式です。
アニメーションでは中心は動かずに辺の長さも変わらないように見えますが、
これは不可能で、辺の長さが変わらない場合は
ペダルを回転すると円の中心は少し上に動きます。

> 【 2:5:4:5 比の普通のチェビシェフ・リンクの高さのブレは、0.24%増しぐらいで、
> これより少し落ちます。】
そうですね。それも計算しました。この比のときの0.24%が最小です。

ちなみに周囲の辺の長さ(4.08)をbとしたとき
高さが最大になるのはsinθ=(b^4-8b^2-48)/(32b)のときで
最大値は(b^2+12)√(b^4+8b^2-48)/(32b)、
最小になるのはb≧4ではsinθ=0のときで最小値はb^2/4、
2√3≦b≦4ではsinθ=1のときで最小値は√(b^4+4b^2-16b)/4
となります。
よってb≧4では(最大値)/(最小値)は
(b^2+12)√(b^4+8b^2-48)/(8b^3)
と表され、この式にb=4.0828…を代入すると1.0035、
b=4を代入すると1.0024が得られます。
※この式に4より小さい値を入れても無意味な値になります。

> 止まっている図を添付してくれませんか。
そちらから提供して頂きたかったです。

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56102.Re: 八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う  
名前:asifsound    日付:2018年04月28日(土) 00時16分
mess#56099 に対する reply

どうもありがとうございます。 しかし、
私には、書いてある内容が理解出来ませんでした。

1. ang=4 の図、とは何ですか?
アニメーションのスライド棒の値 の ang が 4
のペダルの赤丸B が真下にある時ですか?

2. 点A, B は、ペタルの両端の様ですが、
私のアニメーションの図だと、
点B, B' です。 また、点A は▲印の円の中心(軸の位置)です。

3. CE の長さ、の意味も、どこを指しているのか分かりません。
なので、
√{(1+cosθ)(2x-1-cosθ)}+√{(1-cosθ)(2x-1+cosθ)}-2sinθ
の意味も、理解出来ません。
辺の長さが、√(〜) + √(〜) の形と言うのも、理解に苦しみます。

4. h=√{{x+2√(x-1)sinθ-(cosθ)^2}{x^2-x-2√(x-1)sinθ}/{x+2√(x-1)sinθ}}
も、意味不明。
しかし、
最小値h=x-1=4.1674…
θ≒0.831227(約47.6°)で最大値h=4.18217464…
θ=π/2(90°)で極小値h=4.17754101…
をとります。
最大値は最小値の0.35%増しぐらいなので、

の内容は、私の実験による観測と一致します。
【 2:5:4:5 比の普通のチェビシェフ・リンクの高さのブレは、0.24%増しぐらいで、
これより少し落ちます。】

----- 止まっている図を添付してくれませんか。宜しくお願いいたします。
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56099.Re: 八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う  
名前:らすかる    日付:2018年04月27日(金) 20時28分
気になったのでもう少し計算してみました。

ang=4の図から回転するとして
0≦θ≦π/2
x=5.1674…(定数)
円の中心(0,x-1)
A(sinθ,x-1+cosθ)
B(-sinθ,x-1-cosθ)
としてCEの長さを式で表すと
√{(1+cosθ)(2x-1-cosθ)}+√{(1-cosθ)(2x-1+cosθ)}-2sinθ
となります。
0≦θ≦π/2に対してこの長さの変化を見てみると
θ=0のとき2√(x-1)=4.0828…
(この間増加)
θ≒0.544272(約31.2°)で極大値4.1443919…
(この間減少)
θ=π/2(90°)のとき極小値2{√(2x-1)-1}=4.1105860…
となり、CEが1.5%程変化します。

よってCEが固定値2√(x-1)=4.0828…ならば
ペダルが垂直に並ぶときに車輪の中心が最も低く、
その他では高くなることになりますね。

この高さの変化をみるために今度は円の中心を(0,h)として
式を立てると、
h=√{{x+2√(x-1)sinθ-(cosθ)^2}{x^2-x-2√(x-1)sinθ}/{x+2√(x-1)sinθ}}
という式が出てきます。
これをグラフ化して見てみると、
回転角0°(ペダルが垂直に並ぶ時)で最小値h=x-1=4.1674…
θ≒0.831227(約47.6°)で最大値h=4.18217464…
θ=π/2(90°)で極小値h=4.17754101…
をとります。
最大値は最小値の0.35%増しぐらいなので、
実用的には問題ない程度でしょうか。

# 5.1674…は回転角0°のときに「緑色の円」に接するという
# 条件で計算したものですが、他の角度のときは他辺の位置は
# 考慮していません。従って「緑色の円」から少し離れたり、
# 逆に食い込む可能性もあります。
# 「回転角0°を基準」ではなく「誤差が最も少なくするように」
# という考えで辺長を決めれば、さらに誤差を減らせるかも知れませんね。

# 念のためですが、この計算結果の正当性は保証できません。
# 「これを信じて装置を作ったがうまく動かず損害を被った」などの
# 場合も責任は負えませんのでご了承下さい。

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56098.Re: 八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う  
名前:asifsound    日付:2018年04月27日(金) 16時42分
らすかる様 ありがとうございます。

e = 4.08284593311934118466290274562471952834199482221455...
x = 5.16740772839728595747372780506339609865810833312219...

x^5-2x^4-16x^3-16x+32=0 ---@
x=2t
t^5-t^4-4t^3-t+1=0 ------A

とのこと。
-----
50 桁の数値算出、ありがとうございました。
私は ang = 0 の時の図、左右対象で、ローマ法王の冠の様な図形、
から攻めましたが、これは ang = 4 の図と同じです。
私は、数式を途中まで解いて、放棄しました。
あなたは偉い。 5次方程式の解ですか、どもどうも。

私の feeling だと 20次方程式位の感じでしたが、
お答えを見て、案外シンプルなんだと思いました。

補足:
e = sqrt(x^2-(x-2)^2) = 2 sqrt(x-1)

x=2t  とすると@は、
32t^5-2*16t^4-16*8t^3-16*2t+32=0
32(t^5-t^4-4t^3-x+1)=0
i.e. t^5-t^4-4t^3-t+1=0 --- A
と等価。

誰か、一般 angle のケースも挑戦して欲しい。
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56087.Re: 八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う  
名前:らすかる    日付:2018年04月27日(金) 08時38分
> 5.167407728397...の解析値(√の入った値)も知りたい。

この値は五次方程式x^5-2x^4-16x^3-16x+32=0の最大解なので
この方程式を数値的に解くしかなく、
「√の入った値」で書くことは出来ないと思います。
ちなみに4.082845933119...は
x^10+12x^8-224x^6-3200x^4-17152x^2-1024=0の最大解です。

実際に数値的に求める場合は係数が小さい方が良いので
五次方程式x^5-x^4-4x^3-x+1=0の最大解(≒2.58)を求め、
それを2倍すれば
5.16740772839728595747372780506339609865810833312219…
その値から1引いて平方根をとって2倍すれば
4.08284593311934118466290274562471952834199482221455…
が得られます。

なおこの値はang=4の図だけから求めた値で、
他の図でも同じ値が得られるかどうかはわかりません。
# 上記の式を得るだけでも手間がかかりましたので、
# この先計算を進める気力がありません。

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56081.Re: 八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う  
名前:asifsound    日付:2018年04月27日(金) 03時21分
Original Size: 428 x 344, 222KB

>サンプルのアニメーション図を添付した。

サンプルのアニメーション図を添付した。 図はクリックすると鮮明な図が見られます。

と訂正します。図をもう一度添付する。
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56080.八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う  
名前:asifsound    日付:2018年04月27日(金) 03時11分
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Chebyshev linkage (チェビシェフ・リンク)機構を 8 個隣接し、輪にし、八角形車輪を作った。(当然、車軸の高さは、ほぼ一定である。)
しかし、8 個を隣接すると、角度の総和は、360°に近いが、少しオーバーする。しかも、オーバー分は可変である様に見える。

4 本バーの比率 4,5,2,5 を少し調整すると、限りなく 360° just に近くなる様に見える。2 のバーの中点は、車軸で、2 のバーの終端は、ペダルに対応する。

質問: ペダルの角度に依存しない、固定長の8つの辺は、存在するか?
もし存在するなら、辺の長さの理論値を教えて欲しい。

2 → 2 (変更しない。基準のバー)
4 → 4.082845933119...
5 → 5.167407728397...
とすると、かなり良いが、数式では無い。5.167407728397...の解析値(√の入った値)も知りたい。

サンプルのアニメーション図を添付した。
(質問者)
http://www5d.biglobe.ne.jp/~the_imai/etymology/Trace.htm
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「56080.八角形車輪(チェビシェフ・アメーバ)の辺は固定長か、証明 乞う」への返信

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