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55885.Re: 微分方程式(勾配系)  
名前:こーた    日付:2018年04月13日(金) 22時37分
ご回答ありがとうございます!
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55861.Re: 微分方程式(勾配系)  
名前:のぼりん    日付:2018年04月12日(木) 02時52分
要は、二変数関数 f(x,y) と g(x,y) があり、
   ∂f/∂y=∂g/∂x ……… @
を満たすとき、一階偏微分方程式
   ∂P/∂x=f ……… A
   ∂P/∂y=g ……… B
の解 P(x,y) が存在することを言えば良い訳です。

そこで、
   P(x,y)=∫〔0〜x〕f(s,y)ds+∫〔0〜y〕g(0,t)dt ……… C
とおき、これがA、Bの解になっていることを確かめます。

Cの右辺第二項はyのみの関数だから、明らかにAは成り立ちます。
また、@が成り立つから、
   ∂P/∂y=∫〔0〜x〕∂f/∂y(s,y)ds+g(0,y)
    =∫〔0〜x〕∂g/∂x(s,y)ds+g(0,y)
    =g(x,y)
とBも成り立ちます。
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55860.微分方程式(勾配系)  
名前:こーた    日付:2018年04月11日(水) 22時48分
大学数学の質問です。勾配系の微分方程式についてです。

R^2全体で定義される、なめらかな実数値関数P(x(t),y(t)):R^2→Rに対して、Pの勾配▽P(x,y)=(δP/δx,δP/δy)∈R^2と定義します。

また、ベクトルz=(x(t),y(t))(本来は縦ベクトルですが、横で表示しています)に対して、

dz/dt=−▽P(z)と表される微分方程式を勾配系と言います。

ここからが質問です。

微分方程式

dx/dt=f(x,y)
dy/dt=g(x,y)

において、δf/δy=δg/δxを満たすなら勾配系の微分方程式であることが示せません。

δ^2P/δxδy=δ/δx(δP/δy)=δg/δx
δ^2P/δyδx=δ/δy(δP/δx)=δf/δy

を使いそうなことは分かりますが、どう示せば分かりません。教えてください。
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