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55681.Re: 部分群の数を求める.  
名前:なにゃら    日付:2018年04月04日(水) 01時21分
ご回答ありがとうございます.

そういうことでしたか.理解できました.
(質問者)

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55680.Re: 部分群の数を求める.  
名前:T    日付:2018年04月03日(火) 22時21分
一般に、G_1, G_2 を群とし、
N_1 を G_1 の正規部分群、N_2 を G_2 の正規部分群とすると、
N_1×N_2 は G_1×G_2 の正規部分群となり、
(G_1×G_2)/(N_1×N_2)〜(G_1/N_1)×(G_2/N_2) が成り立ちます。
3つ以上の群の対しても同様です。

今回の場合、C8 における2倍写像の像を 2C8 と書くことにしますと
C8×C8×C3 における2倍写像の像は 2C8×2C8×C3 です。
したがって、G/2G〜(C8/2C8)×(C8/2C8)×{e} ({e} は単位元のみからなる群)
となり、C8/2C8〜Z/2Z なのでそのようになります。
(回答者)
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55678.部分群の数を求める.  
名前:なにゃら    日付:2018年04月03日(火) 00時31分
例題で部分群の数を求めるというものがあるのですがその解説でわからないところがあります.

Z/nZをCnと表記します.
問い.G=C8×C24の指数2の部分群の数を求めよ.
G〜C8×C8×C3である.(〜は同型という意味です)
Gはアーベル群なので任意の部分群は正規部分群となる.
指数2の部分群をHとおくと2G⊂Hとなる.
(2G={2g|g∈G}です)
部分群に関する準同型定理よりHはG/2Gの指数2の部分群と1対1対応する.
C3において2倍写像は全単射である.
〜ここからがわからないです〜
よってG/2G〜Z/2Z ×Z/2Zである.
この1行がわからないので解説してほしいです.
(大学 2 年/質問者)

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「55678.部分群の数を求める.」への返信


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