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DS 数学 BBS・2
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55679.Re: 積分  
名前:ST    日付:2018年04月03日(火) 01時56分
さるさん、mochiさんありがとうございます!
解答参考にさせてもらいます。
出典は、京都大学の平成21年度の院試からです。
(数学系入試問題 数学I-問2 です。)
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55675.Re: 積分  
名前:mochi    日付:2018年04月02日(月) 19時20分
少し自信ないので誰か確認してください.

あらゆるところに(絶対値の省略、記述の省略のため)f, gが非負な関数であることを用いている.
式変形は変数x, yの範囲に注意

a,b>0に対してy=nxで置換することで
n∫[a,b] f(x)g(nx) dx = ∫[na,nb] f(y/n)g(y) dy

F=∫(0,∞) f(x) dx + 1
G=∫(0,∞) g(x) dx + 1
とおくと、F, G>0である

∀ε>0∃N>0s.t.∀n, (n>N ⇒n∫(0,∞)f(x)g(nx)dx < ε)を示す

任意にε>0をとる

lim_{x->0} f(x) = 0より
∃δ>0s.t. ∀x, (0<x<δ ⇒ f(x)<ε/(3G))
また、fは連続だから([0,1]上で)有界で
∃M>0s.t. ∀x∈(0,1], f(x)<M
gは広義積分可能だから
∃R>0s.t. ∫[R,∞) g(x) dx<ε/(3M)
lim_{x->∞} x g(x) = 0より
∃X>0s.t. ∀x, (X<x ⇒ xg(x)<ε/(3F))

N=max{1/δ^2, R^2, X^2}+1 とおくと
∀n, n>Nならば (X<√n, R<√n, 1/√n<δ である)
n∫(0,∞) f(x)g(nx) dx
 = ∫(0,√n) f(y/n)g(y) dy + ∫(√n,n) f(y/n)g(y) dy + n∫(1,∞) f(x)g(nx) dx
 <=∫(0,√n) ε/(3G) g(y) dy + ∫(√n,n) M g(y) dy + ∫(1,∞) f(x)/n (nx) g(nx) dx
 <= ε/(3G) ∫(0,√n) g(y) dy + M ∫(R,∞) g(y) dy + ε/(3F)∫(1,∞) f(x)/n dx
 <= ε/(3G) ∫(0,∞) g(y) dy + M ∫[R,∞) g(y) dy + ε/(3F) ∫(0,∞) f(x) dx
 < ε/(3G) G + M ε/(3M) + ε/(3F) F
 = ε
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55673.Re: 積分  
名前:さる    日付:2018年04月01日(日) 08時30分
面白い問題だと思うので出典が知りたいです。

記述が面倒なので、
I_n(a,b):=n∫_(a,b)f(x)g(nx)dx,
limsup_{n→∞}を単にlimsupと書きます。

0≦I_n(0,∞)なので、limsup I_n(0,∞)≦0を示せば良いのがわかります。
(limsupを使わない証明は私には思いつきません)

a>0とします。
計算すれば、
I_n(0,a)≦(sup_{0≦x≦a} f(x)) ∫_(0,∞) g(x)dx
I_n(a,∞)≦(sup_{y≧a n} y g(y)) ∫_(a,∞) f(x)/x dx
を得ます。

x≧aでは f(x)/x≧f(x)/aが成り立ち、f(x)は(0,∞)で可積分であることや、x g(x)の条件を使えば、
limsup I_n(0,∞)≦limsup I_n(0,a) + limsup I_n(a,∞)
≦limsup I_n(0,a)
なので、結局
limsup I_n(0,∞)≦(sup_{0≦x≦a} f(x)) ∫_(0,∞) g(x)dx
です。ここで、aを0に近づけると、f(x)に関する条件より、
limsup I_n(0,∞)≦0
となり、結論が従います。
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55649.Re: 積分  
名前:mochi    日付:2018年03月30日(金) 18時27分
間違えていました。うまくいきません。無視してください。
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55647.Re: 積分  
名前:mochi    日付:2018年03月30日(金) 18時01分
√nで分けるとうまくいきました。
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55637.積分  
名前:ST    日付:2018年03月30日(金) 02時28分
Original Size: 640 x 232, 36KB

f,gを区間(0,∞)上で定義された連続かつ広義可積分な非負関数とし、
lim[x→0]f(x)=0
lim[x→∞]xg(x)=0
を満たすとする。このとき次を示せ。
lim[n→∞]n∫_(0,∞)f(x)g(nx)dx=0

この問題お願いします。
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