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55623.Re: 代数学  
名前:なにゃら    日付:2018年03月29日(木) 10時06分
ご回答ありがとうございます.

よく理解できました.

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55607.Re: 代数学  
名前:naka    日付:2018年03月28日(水) 23時19分
一番最後の

>φ(g,h)=φ(g,1_H)φ(1_G,h)
=φ_1(g)φ_2(h)

この部分の証明が足りません。φ(g,1_H) の第2成分が 1_H とは限らないですし、同様にφ(1_G,h) の第1成分が 1_G とは限らないので一般に

φ(g,1_H)φ(1_G,h)=φ_1(g)φ_2(h)

とはならないです。正確には φ(g,1_H)=(φ_1(g),ψ_1(g)),φ(1_G,h)=(ψ_2(h),φ_2(h)) と書くことにすると

φ(g,1_H)φ(1_G,h)=(φ_1(g)ψ_2(h),ψ_1(g)φ_2(h))

です。なので ψ_1(g)=1_H と ψ_2(h)=1_G も示しておく必要があります。
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55606.Re: 代数学  
名前:なにゃら    日付:2018年03月28日(水) 23時16分
ご回答ありがとうございます.

これは問題文をそのまま写したので筆者のミスであると思います.
そして仰る通りの解釈でいいと思います.

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55603.Re: 代数学  
名前:IT    日付:2018年03月28日(水) 21時57分
> φ:G×H→G×H が準同型なら
> 準同型φ_1:G→G,φ_2:H→Hがあり,任意の(g,h)∈G×Hに対してφ(g,h)=φ_1(g)φ_2(h)であることを示せ.

φ(g,h)=φ_1(g)φ_2(h) はおかしいのでは?
左辺のφ(g,h)∈G×H ですよね、
右辺のφ_1(g)φ_2(h) は、どういうことでG×Hの元になるのですか?
右辺は(φ_1(g),φ_2(h)) ではないのですか?

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55602.代数学  
名前:なにゃら    日付:2018年03月28日(水) 03時30分
G,Hは有限群,|G|=n,|H|=mでnとmは互いに素とする.
φ:G×H→G×H が準同型なら
準同型φ_1:G→G,φ_2:H→Hがあり,任意の(g,h)∈G×Hに対してφ(g,h)=φ_1(g)φ_2(h)であることを示せ.

以下が私の解答ですがこれでいいですか?nやmの条件を全く使っていないので不安です.

1_G,1_HをそれぞれG,Hの単位元とします.
g∈Gとすると(g,1_H)∈G×HはGの元とみなせます.
なのでφ_1(g):=φ(g,1_H)の第1成分と定義すると
φ_1(g_1)φ_1(g_2)=φ(g_1,1_H)φ(g_2,1_H)の第1成分
φが準同型であることから
=φ(g_1g_2,1_H)の第1成分
=g_1g_2となりφ_1が準同型になることがわかります.
φ_2も同様に定義すると準同型であることが示せます.

なので任意の(g,h)に対して
φ(g,h)=φ(g,1_H)φ(1_G,h)
=φ_1(g)φ_2(h)
よって与題は示された.
(大学 2 年/質問者)

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