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55674.Re: f(x+y)=f(x)f(y)の微分方程式の解き方が  
名前:ナギ    日付:2018年04月01日(日) 09時33分
皆様。ご回答ありがとうございます。

ふと疑問なのですが,

> 解答は, f(x+y)=f(x)f(y)をxについて微分すると,

このくだりは
このfは2変数関数でxについて偏微分するという意味でしょうか????
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55546.Re: f(x+y)=f(x)f(y)の微分方程式の解き方が  
名前:さる    日付:2018年03月25日(日) 16時00分
解答が間違っていたり、記述が不親切であったりすることはいくらでもあるので、記述に囚われすぎるのは良くないと思います。

あと、定数という用語は、なんか変数があるときに、その変数に依らない数という意味で使われるわけですが、それは文脈依存するので、使い方には要注意。

ここでは、「f'(0)(fの0における微分係数)をcとおく。」とかにした方が良いのでは?と思います。

で、今さらですが、略解をば。

f(x)が恒等的に0であれば、それは解の一つになっているのはすぐにわかるので、それ以外の解を探します。

y=0として成り立つ式より、
f(x)=f(x)f(0)が任意のxについて成り立つので、f(x)≠0となるxを考えれば、f(0)=1が従います。
f'(0)=cとおくと、f'(x)=f(x)f'(0)なので、
f'(x)=c f(x)が任意のxについて成り立ちます。
この微分方程式の解は
f(x)=A e^(c x)
となるわけですが、f(0)=1であったので、
f(x)=e^(c x)
を得ます。あとは、これが方程式を満たすのは確かめればOKかと。
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55545.Re: f(x+y)=f(x)f(y)の微分方程式の解き方が  
名前:naka    日付:2018年03月24日(土) 12時21分
f'(0) は f'(x) という関数に x=0 を代入したときの値なので定数です。
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55544.Re: f(x+y)=f(x)f(y)の微分方程式の解き方が  
名前:ナギ    日付:2018年03月24日(土) 10時17分
> f'(0) のことを表していてこれが定数であると言いたいのではないでしょうか。

どうしてf'(0)が定数と分かるのでしょうか?

f(x)=e^xと仮定されてるのなら定数とは分かりますが。
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55523.Re: f(x+y)=f(x)f(y)の微分方程式の解き方が  
名前:naka    日付:2018年03月23日(金) 14時04分
ついているURLは気にしないでください(汗)
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55522.Re: f(x+y)=f(x)f(y)の微分方程式の解き方が  
名前:naka    日付:2018年03月23日(金) 14時03分
>解答は, f(x+y)=f(x)f(y)をxについて微分すると,
f'(x+y)=f(x)f'(y).

これは y について微分ですね。

f'(y) 関数としては定数関数になりません。おっしゃられている通り f(x)=e^x はこの条件にあう f(x) の例になっていますが f'(y)=e^y で定数ではないですね。

おそらく y=0 としているので f'(y) というのは f'(0) のことを表していてこれが定数であると言いたいのではないでしょうか。
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55512.f(x+y)=f(x)f(y)の微分方程式の解き方が  
名前:ナギ    日付:2018年03月23日(金) 09時21分
f(x)はf(x+y)=f(x)f(y)を満たす微分可能な関数とする。
この時,f(x)を求めよ。

という問題です。e^{x+y}=e^xe^yがその一例と思います。

解答は, f(x+y)=f(x)f(y)をxについて微分すると,
f'(x+y)=f(x)f'(y).
y=0とするとf'(y)=c (cは定数)なので


と説明されてるのですがどうしてy=0ならf'(y)=cはどうやって出てくるのでしょうか?

y=0とするとf(x)=f(x)f(0)とf'(x)=f(x)f'(0)が言えて,,,それから?
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