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DS 数学 BBS・2
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55249.Re: 関数項級数と不等式  
名前:ST    日付:2018年03月10日(土) 12時33分
ありがとうございます。
とても分かりやすくて理解できました!
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55248.Re: 関数項級数と不等式  
名前:naka    日付:2018年03月10日(土) 12時08分
まず arctan(x) の公式を使うと x>0 のとき
π/2-arctan(x)=arctan(1/x)
です。また arctan(x) の導関数は 1/(1+x^2) なので積分により
arctan(x)=∫[0→x]1/(1+t^2)dt
ですので、
arctan(1/x)=∫[0→1/x]1/(1+t^2)dt
であり、t=1/u による置換積分を考えると
arctan(1/x)=∫[x→∞]1/(1+u^2)du
=Σ[n=1→∞]∫[nx→(n+1)x]1/(1+u^2)du
です。グラフの面積を考えると
∫[nx→(n+1)x]1/(1+u^2)du≦x/(1+(nx)^2)
が分かるので S(x)≧π/2-arctan(x) となることが分かります。
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55247.関数項級数と不等式  
名前:ST    日付:2018年03月10日(土) 11時41分
xを実変数とする関数項級数Σ[n=1,∞]x/(1+(nx)^2)の和をS(x)とするとき、x>0に対して次の不等式を示せ。
S(x)≧π/2-arctan(x)

この問題わかる方ご教授お願いします。
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