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55254.Re: ガンマ関数  
名前:地下水    日付:2018年03月10日(土) 18時07分
しかし単に部分積分を使って、
∫[0->∞]x^n*e^(-x)dx
=[x^n*e^(-x)/(-1)][0->∞]-∫[0->∞]nx^(n-1)*e^(-x)/(-1)dx
=0-n/(-1)∫[0->∞]x^(n-1)*e^(-x)dx
=n∫[0->∞]x^(n-1)*e^(-x)dx
=n!∫[0->∞]e^(-x)dx
=n![e^(-x)/(-1)][0->∞]
=n![0-1/(-1)]=n!*1=n!とスラスラと順に簡単に計算できました。さらに大ボケでした。ガンマであるヴィーンの式にゼータを掛けて補正すると、プランクの分布式が出ますが、アインシュタインの論文でプランクの分布式を出すところを読んで納得したときは、もっと本質的で直接的な導出だったような感じがしました。
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55236.Re: ガンマ関数  
名前:地下水    日付:2018年03月09日(金) 15時23分
ありがとうございます。簡単明瞭に解りました。
(社会人/質問者)
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55225.Re: ガンマ関数  
名前:あっしー    日付:2018年03月08日(木) 20時51分
ガンマ関数を証明するってよく分からないですが。

1/s=∫_[0→∞]exp(-sx)dx
の両辺をsでn階微分して s=1 を代入とかどうでしょうか。
積分と微分の交換はルベーグ積分の理論を使うんでしょうが,「示唆」程度でいいのならあまり気にせずにまずは形式的に計算してみてください。
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55175.ガンマ関数  
名前:地下水    日付:2018年03月05日(月) 14時50分
ガンマ関数は基本的な関数で、他の様々な関数に用いられます。
ガンマ関数は部分積分を用いれば、構成的に簡明に証明できます。
しかし数量的に、ガンマ関数に気付く事ができるでしょうか。
nが自然数のとき、n!=∫[0→∞]x^n * e^(-x)dx
この被積分式は、n次元の式に減衰関数を掛けた形をしています。
この式の積分が階乗になることを、数量的に示唆することができるでしょうか。
(数学愛好猫/質問者)
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