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DS 数学 BBS・2
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55144.Re: 広義積分  
名前:X    日付:2018年03月04日(日) 06時53分
これは場合分けが必要になります。
xの二次方程式
x^2+2αx+β=0
の解の判別式をDとすると
D/4=α^2-β

(i)D/4>0、つまりβ<α^2のとき
x^2+2αx+β=(x+α)^2+β-α^2
={(x+α)-√(α^2-β)}{(x+α)+√(α^2-β)}
と因数分解できるので
∫[0→∞]dx/(x^2+2αx+β)={1/{2√(α^2-β)}}
∫[0→∞]{1/{(x+α)-√(α^2-β)}-1/{(x+α)+√(α^2-β)}}dx
={1/{2√(α^2-β)}}[log{{(x+α)-√(α^2-β)}/{(x+α)+√(α^2-β)}}][0→∞]
={1/{2√(α^2-β)}}log{{α-√(α^2-β)}/{α+√(α^2-β)}}
={1/{√(α^2-β)}}log{{α-√(α^2-β)}/β}

(ii)D/4=0、つまりβ=α^2のとき
∫[0→∞]dx/(x^2+2αx+β)=∫[0→∞]dx/(x+α)^2
=[-1/(x+α)][0→∞]
=1/α

(iii)D/4>0、つまりβ>α^2のとき
∫[0→∞]dx/(x^2+2αx+β)=∫[0→∞]dx/{(x+α)^2+β-α^2}
=[{1/√(β-α^2)}arctan{(x+α)/√(β-α^2)}][0→∞]
={1/√(β-α^2)}{π/2-arctan{α/√(β-α^2)}}
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55135.広義積分  
名前:イカ    日付:2018年03月04日(日) 03時06分
広義積分の問題がわかりません。

α、βは正の数とすると、1/(x^2+2αx+β)の0から無限大までの広義積分の値を求めよ。
KD106181148151.au-net.ne.jp (106.181.148.151)
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「55135.広義積分」への返信

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