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55125.Re: 線形従属  
名前:通りすがり    日付:2018年03月03日(土) 18時31分
ぽんすれ氏 様

こちらこそ,既に No. 55104 でのご返答の段階でお返事を頂いていたのを見落としておりました.

度重なる失態で恥ずかしい限りです.

改めまして,質問者様をはじめ,皆様にお詫び申し上げます.
(回答者)
p1085222-ipngn200805fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (114.176.50.222)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64; rv:58.0) Gecko/20100101 Firefox/58.0

55124.Re: 線形従属  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年03月03日(土) 02時08分
>>通りすがり様
>「途中の部分空間が 0 でない限り,次元が 1 ずつ下がるというのは」
>Im f^l ≠ 0 ならば,dim Im f^{l+1} < dim Im f^l   (*)
>を言い直したつもりでした.あまり良い表現では無かったかもしれません.一番主張したかったのは,(*)から,
>0 ≠ dim V = dim Im f^0 > dim Im f^1 > dim Im f^2 > …
>と dim Im f^l = 0 となるまで真に小さくなっていくということです.
→この辺りの主張は,文脈から何となしに既に察しておりました.

ただ,勝手にある部分を読み間違えておりましたので,結果的にご質問することになってしまいました.

大変失礼致しました.
softbank126075105193.bbtec.net (126.75.105.193)
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55107.Re: 線形従属  
名前:通りすがり    日付:2018年03月02日(金) 22時23分
本当に度々申し訳ありません.

IT 様

既に私の代わりにご回答頂いていたのを見落としておりました.
ありがとうございました.
(回答者)
p1085222-ipngn200805fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (114.176.50.222)
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55106.Re: 線形従属  
名前:通りすがり    日付:2018年03月02日(金) 22時19分
ぽんすれ氏 様

下記の投稿についてですが,

「次元が 1 ずつ下がる」

ではなく,

「次元が 1 以上ずつ下がる」

ですね.失礼致しました.
p1085222-ipngn200805fukuokachu.fukuoka.ocn.ne.jp (114.176.50.222)
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55105.Re: 線形従属  
名前:通りすがり    日付:2018年03月02日(金) 22時16分
ぽんすれ氏 様

「途中の部分空間が 0 でない限り,次元が 1 ずつ下がるというのは」

Im f^l ≠ 0 ならば,dim Im f^{l+1} < dim Im f^l   (*)

を言い直したつもりでした.あまり良い表現では無かったかもしれません.一番主張したかったのは,(*)から,

0 ≠ dim V = dim Im f^0 > dim Im f^1 > dim Im f^2 > …

と dim Im f^l = 0 となるまで真に小さくなっていくということです.
(回答者)
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55104.Re: 線形従属  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年03月02日(金) 21時36分
>>IT様
ご回答いただき有難う御座いました.理解致しました.

後半の質問ですが,ふと引用を読み返したところ読み間違いをしておりました.失礼致しました.
KD182250245034.au-net.ne.jp (182.250.245.34)
Mozilla/5.0 (iPhone; CPU iPhone OS 10_3_3 like Mac OS X) AppleWebKit/603.3.8 (KHTML, like Gecko) Version/10.0 Mobile/14G60 Safari/602.1

55094.Re: 線形従属  
名前:IT    日付:2018年03月02日(金) 18時12分
>>ぽんすれ氏 さま

A^(k-1)x≠0 となるn次元ベクトルxが存在する。
このとき、、k個のn次元ベクトル x,Ax,...,A^(k-2)x,A^(k-1)x ・・・ 

としたからです。
「このとき」は「A^(k-1)x≠0 となるn次元ベクトルxについて」という意味です。

したがって、x,Ax,...,A^(k-2)x,A^(k-1)x  のA^(k-1)x≠0です。

また、各(A^i)x≠0,(i=0,1,...,k-1) です。
なぜなら、(A^i)x=0 とするとA^(k-1)x=(A^(k-1-i))(A^i)x=0となりますから。
(勘違いがあれば、ご指摘ください)


ついでに後半の質問・回答
有限次元線型写像は、次元を変えないか、次元を落とすかのどちらかですから。

p97236-ipngn200205matsue.shimane.ocn.ne.jp (123.219.45.236)
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55091.Re: 線形従属  
名前:ぽんすれ氏    日付:2018年03月02日(金) 09時22分
横レス申し訳ありません.数点気になったことがありますので,宜しければご質問させてください.つまらない質問であれば,申し訳ありません.


>>IT様
>このとき、k個のn次元ベクトル x,Ax,...,A^(k-2)x,A^(k-1)x は1次独立である。
→これらのベクトルは何故どれもnonzeroなのですか?

>>通りすがり様
>に(*) の部分空間の列は,途中の部分空間が 0 でない限り,次元が 1 以上ずつ少なくなっていき
→何故このことが言えるのですか?
KD182250245039.au-net.ne.jp (182.250.245.39)
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55087.Re: 線形従属  
名前:通りすがり    日付:2018年03月02日(金) 02時30分
横から失礼します.

既にご存知であれば恐縮ですが,線形写像と像を利用して以下の様に証明すると,何が起こっているかがより分かり易くなります.

C を複素数体とし,V = C^n とおく.また,f:V -> V を行列 A を表現行列にもつ線形写像とする.任意の非負整数 k に対し,A^k は f の k 回の合成 f^k (0 回は恒等写像とみなす)の表現行列となる.

以下,線形写像 g に対し,Im g で g の像を表す.写像の一般論から,

… ⊆ Im f^3 ⊆ Im f^2 ⊆ Im f ⊆ Im f^0 = V (*)

であり,更に,各 Im f^{k+1} は Im f^k の部分空間である.ある非負整数 l で Im f^l = Im f^{l+1} となれば,

 Im f^l = Im f^{l+1} = Im f^{l+2} = …

が成立する.ここで,問題の仮定から,十分大きい k に対し,Im f^k = 0 である.よって,Im f^l ≠ 0 ならば,Im f^l ≠ Im f^{l+1} であり,したがって,
 dim Im f^{l+1} < dim Im f^l
が成立する.故に (*) の部分空間の列は,途中の部分空間が 0 でない限り,次元が 1 以上ずつ少なくなっていき,元の V の次元は n なので,dim Im f^n = 0 でなければならない.よって,f^n = 0 であり,したがって,A^n = 0.
(回答者)
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55086.Re: 線形従属  
名前:IT    日付:2018年03月01日(木) 19時59分
元の証明を生かすなら、下記のようにすればいいかも。

A^n≠0 と仮定する。
A^m≠0となる最大の自然数をmとする…(ア) このときm≧n である。
(A^m)x≠0 なる n次元ベクトルxをとる…(イ)。
m+1個のベクトル x,Ax,...,(A^m)x は線形従属である。

c[0]x+c[1]Ax+...+c[m](A^m)x = 0 (c[0],c[1],...,c[m]:定数) …@ とすると
 (A^m)(c[0]x+c[1]Ax+...+c[m](A^m)x) = 0
c[0](A^m)x+c[1](A^m+1)x+...+c[m](A^2m)x = 0
ここで (ア)より A^(m+1)=,...,=A^2m=0 よってc[1](A^m+1)x+...+c[m](A^2m)x = 0
よってc[0](A^m)x=0
(イ)より c[0]=0.

・・・・・

p97236-ipngn200205matsue.shimane.ocn.ne.jp (123.219.45.236)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

55085.Re: 線形従属  
名前:IT    日付:2018年03月01日(木) 19時52分
こんな証明でどうでしょう。

自然数kについてA^k=0,A^(k-1)≠0とすると、
A^(k-1)x≠0 となるn次元ベクトルxが存在する。

このとき、k個のn次元ベクトル x,Ax,...,A^(k-2)x,A^(k-1)x は1次独立である。
なぜなら c[0]x+c[1]Ax+...+c[k-2]A^(k-2)x+c[k-1]A^(k-1)x = 0 …@のとき
    両辺にA^(k-1)を掛けると、c[0]A^(k-1)x= 0となるが、
    A^(k-1)x≠0 なのでc[0]= 0でなければならない。
    次に@の両辺にA^(k-2)を掛け同様にして、c[1]= 0を得る。
    以下順次,c[2]=0,....,c[k-1]=0 を得る
    したがって、k個のn次元ベクトル x,Ax,...,A^(k-2)x,A^(k-1)x は1次独立である。
n+1 個以上のn次元ベクトルは1次従属なので、k≦n である。
したがって A^n=0である。.

p97236-ipngn200205matsue.shimane.ocn.ne.jp (123.219.45.236)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

55082.Re: 線形従属  
名前:IT    日付:2018年03月01日(木) 20時14分
完全にまちがっているように思えます。
問題文の仮定は「nより大きなある自然数kに対して,A^k =O であるならば、」とあるのに

証明で「題意により,A^(n+1)=....=A^2n=O ⇒ ・・・」 としているのはおかしいと思います。

また、証明の中で「題意により」などという、あいまいな表現は許されないと思います。

出典は何ですか、しっかりした出版社の書籍なら正誤表が出ているのではないでしょうか?

p97236-ipngn200205matsue.shimane.ocn.ne.jp (123.219.45.236)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; WOW64; Trident/7.0; rv:11.0) like Gecko

55076.Re: 線形従属  
名前:naka    日付:2018年03月01日(木) 12時57分
そもそもこの証明間違ってますね。
A≠0 で x≠0 だったとしても Ax≠0 とは限らないので c_0=0 を導くことができません。
このやり方でやるなら、もっと x_0 の選び方に仮定を加える必要がありますね。
180-147-161-135f1.kyt1.eonet.ne.jp (180.147.161.135)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64) AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko) Chrome/64.0.3282.186 Safari/537.36

55070.Re: 線形従属  
名前:さる    日付:2018年03月01日(木) 07時18分
>@式が成立する理由
@式が成立すると、どうなるという議論なので、@式が成立するのは議論における仮定です。
仮定が成立するかどうかは議論に関係ないので、その理由を聞かれても困ります。

理解に関係あるか知りませんが、n次元ベクトル空間において、n+1個のベクトルの組は、いつでも線形従属です。なので、その本の書き方は、A^n≠Oやx_n≠0を用いて線形従属を導いているように見えるので、あまり良くないとは思います。
ae089231.dynamic.ppp.asahi-net.or.jp (14.3.89.231)
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:58.0) Gecko/20100101 Firefox/58.0

55069.線形従属  
名前:Pierre    日付:2018年03月01日(木) 05時57分
Original Size: 861 x 1280, 353KB

画像の赤印部分をご参照下さい。
A^n≠0,Xn≠0のとき@式が成立する理由が分かりません。線形独立の定義によると@式の第一項を除いた式が成立するためにはc1,...,cnが0しかないとのことなので第一項に対するc0xの理解が足りていないと考えています。
fp76f19307.tkyc206.ap.nuro.jp (118.241.147.7)
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.1; Win64; x64; rv:56.0) Gecko/20100101 Firefox/56.0



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