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55093.Re: 点群の次元数  
名前:黄桃    日付:2018年03月02日(金) 10時19分
点群というのは点の有限集合という理解でいいのでしょうか。
{x[i]}を点群とするとき、すべてのi,j について、d(i,j)=|x[i]-x[j]|が既知というのが問題設定でしょうか?
これらの点群は最初からあるユークリッド空間に埋め込まれている
(d(i,j)だけが任意に与えられているのだと、{x[i]}が存在しない可能性がありますが(3点の距離が 1,2, 100ならアウト)
そうこうことはない)
というのでいいのでしょうか?

方法があるかないか、というのであればあるでしょう。
数学的には各点に適当に順番をつけて、帰納的に探していけばいいのではないでしょうか。

x[0]の座標を原点とし、L[0]={0}とします。
x[1]の座標を(d(0,1)) とし、L[1]={(x)|x∈R}(d(0,1)≠0), ={0} (d(0,1)=0)とします。
x[0],x[1]はL[1]に含まれ、L[1]より小さい次元のユークリッド空間には含まれません。
L[1]が1次元であれば、x[2]の座標を(x[2,1])とおいて、x[0],x[1],x[2]に関する条件から連立方程式を立て、解が存在すれば、L[2]=L[1]
解が存在しなければ、L[2]をx[2]の座標を(x[2,1],x[2,2])とし、x[0],x[1]も最後の成分を0として2次元空間に埋め込んで
連立方程式を立てて解が求まれば(解は一般には2個でてきますが、最後の座標の符号が違うだけなので正の方をとる)L[2]を2次元空間、求まらなければL[2]=φとして、そのような点群は存在しない、
というのを繰り返していけばいいでしょう。
x[i]を加えて次元が増えなければ、x[i+1]を探すときにはx[i]は無視してOKです
(点群{x[i]}の存在が保証されていなければ、x[i+1]以降が求まった後、最後に「確かめ」をする必要があるでしょう)。

解を求める際、一般には2次の連立方程式ですが、辺々引き算すれば、1次方程式になり、
これは容易に解けるから(といっても一般の場合はrankが落ちるので解は1次元以上の線型空間)、
その解をパラメータ表示して2次式に代入すれば解があるかどうかも含め具体的な解がわかるでしょう。

#情報系的な発想(厳密な次元よりは近似的な次元でよい)ならグラフ分割かなんかで
#適当にクラスタ化・階層構造にして各階層を点で(近似)代表させて帰納的に求める、
#とかするのが思いつきます。

##もっといえば4点の点群が(-1,0),(0,0),(1,0),(0,0.1)であれば、数学的な答は2次元ですが、
##応用分野によっては、1次元(あるいは、どう定義するかわかりませんが1.1次元等)
##が望まれる答ではないでしょうか。
##ガウスの掃き出し法にならって、L[i]を求める時に、それらが張る点の座標からなる
##行列の行列式の絶対値がある程度大きい、ようにx[i]を選ぶとかなんとかするのでは?
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55056.Re: 点群の次元数  
名前:さる    日付:2018年02月28日(水) 20時39分
参考にならないかもしれませんが。

n-1次元空間R^(n-1)にn個の点 p_0,p_1,...,p_(n-1) があるとし、p_0は原点とする。

このとき、n個の点が含まれるm次元部分空間は、p_1,...,p_(n-1)の位置ベクトルが張るベクトル空間に他ならない。

というわけで、上記設定だと、mはベクトルp_1,...,p_(n-1)の成分を並べて出来る行列の階数に等しいことがわかります。

で、互いの距離がわかっている時に、それぞれの配置がわかるかというと、その部分は私にはわかりません。
それぞれの距離を正の実数で自由に与えると、不可能な配置の可能性もあり、配置を知ることはそれほど簡単な問題ではないかと。
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54984.点群の次元数  
名前:情報系の人    日付:2018年02月26日(月) 17時32分
ある点群のそれぞれの距離のみがわかっているとき、その点群を何次元で表現できるかを知る方法はありますか?

n個の点群はn-1次元でということでなく
最小の次元数ということです。
(大学院/質問者)
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