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54495.Re: フビニの定理の使用例  
名前:数学弱者    日付:2018年02月09日(金) 20時22分
確かに言われてみればそうですね。

ありがとうございます。
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54465.Re: フビニの定理の使用例  
名前:sphere    日付:2018年02月08日(木) 07時44分
おはようございます.

フビニの定理にはいくつかバリエーションがあり, 次の主張もフビニの定理と呼ばれます:

[フビニの定理1]
(X,F,μ)と(Y,G,ν)はそれぞれσ-有限測度空間とする.
fはX×Y上の[0,∞]-値関数とする. fがさらにF⊗G-可測なら,
∫_{X×Y}f dμ⊗ν=∫_{Y}(∫_{X}f dμ)dν=∫_{X}(∫_{Y}f dν)dμ
が成り立つ. μ⊗νはμとνの積測度です.
これら3つの積分のいくつかは∞かもしれない. その時は残りの積分も∞になる.
また, ∫_{X}f dμ, ∫_{Y}f dν がそれぞれ, G-可測, F-可測であることに注意して下さい.

すなわち, 被積分関数が非負で可測なら積分の順序交換はいつでも可能である!
被積分関数が非負で可測なら, 可積分性の確認はする必要はない!
被積分関数が非負でないときに可積分性の確認が必要になるわけです.

[フビニの定理2]
(X,F,μ)と(Y,G,ν)はそれぞれσ-有限測度空間とする.
fはX×Y上の[-∞,∞]-値関数とする. fがさらにF⊗G-可測で,
∫_{X×Y}|f| dμ⊗ν, ∫_{Y}(∫_{X}|f| dμ)dν, ∫_{X}(∫_{Y}|f| dν)dμ
のどれかが有限値なら, (この時, フビニの定理1から残りの積分も自動的に有限になる)
∫_{X×Y}f dμ⊗ν=∫_{Y}(∫_{X}f dμ)dν=∫_{X}(∫_{Y}f dν)dμ
が成り立つ.

フビニの定理2が今回質問者様が引用されたフビニの定理ですね.

元々の問題文が何なのか分からないのですが, 質問者様が扱っている関数たちは
全て非負可測なので, 可積分性について言及する必要はないです.
フビニの定理2ではなく, フビニの定理1を使って問題を解けばよい.
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54435.Re: フビニの定理の使用例  
名前:数学弱者    日付:2018年02月07日(水) 00時09分
すみません。2行目の左の積分の絶対値は間違えてつけてしまいました。

3行目の1に絶対値をつけたものが有限ならばフビニの定理から積分順序交換可能であるので、

|1|=1なので、2行目の積分は有限の値で、3行目の重積分は2行目の積分の変形なので、フビニの定理が使えるということを言いたかったわけです。
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54434.フビニの定理の使用例  
名前:数学弱者    日付:2018年02月07日(水) 00時03分
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フビニの定理(フビニ=トネリの定理)を一般の積分問題に使ってみたのですが、使い方は合っていますでしょうか?
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